文章目录

0.背景
1. 几种概率分布模型
- 1.1 χ2分布\chi^2分布χ2分布
- - 1.1.1 定义
  - 1.1.2 概率密度函数（PDF）
- 1.2 t分布t分布t分布
- - 1.2.1 定义
  - 1.2.2 概率密度函数（PDF）
- 1.3 F分布F分布F分布
- - 1.3.1 定义
  - 1.3.2 概率密度函数（PDF）
2. 若干定理
- 2.1 样本均值的分布
- 2.2 样本方差的分布
- 2.3
3. 讨论
Last.参考文献

0.背景

钢制塔筒疲劳设计过程中，出于设计突破的需求，要对焊缝DC（detail category）值取值进行详细计算。按照IIW（International Institute of Welding，国际焊接学会）规范给出的数理统计方法求取疲劳抗力代表值。

1. 几种概率分布模型

1.1 χ2分布\chi^2分布χ2分布

1.1.1 定义

设X1X_1X1， X2X_2X2，··· ， XnX_nXn为nnn个（n⩾1n \geqslant 1n⩾1）相互独立的随机变量，他们都服从标准正态分布N(0,1)N(0, 1)N(0,1)。Y=∑i=1nXi2Y=\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}Y=∑i=1nXi2，那么随机变量YYY的分布称为自由度为nnn的χ2\chi^2χ2分布，记为Y∼χ2(n)Y \sim \chi^2(n)Y∼χ2(n)

1.1.2 概率密度函数（PDF）

f(x)={12n2Γ(n2)xn2−1e−x2,x>00,x⩽0f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, x>0\\ \\ 0, \quad x\leqslant 0 \end{matrix}\right. f(x)=⎩⎨⎧22nΓ(2n)1x2n−1e−2x,x>00,x⩽0

上式中Γ(⋅)\Gamma(\cdot)Γ(⋅)为伽马函数，其具体定义可以参考这里的第三节。

1.2 t分布t分布t分布

1.2.1 定义

设随机变量XXX和YYY相互独立，且X∼N(0,1)X \sim N(0, 1)X∼N(0,1)，Y∼χ2(n)Y \sim \chi^2(n)Y∼χ2(n)，那么有：
T=XY/n∼t(n)T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)T=Y/nX∼t(n)
称统计量T分从t分布。

1.2.2 概率密度函数（PDF）

f(t)=Γ(n+12)nπΓ(n2)(1+t2n)−n+12(−∞<t<+∞)f(t)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n \pi} \Gamma(\frac{n}{2})}(1+\frac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} \qquad (-\infty < t < +\infty)f(t)=nπΓ(2n)Γ(2n+1)(1+nt2)−2n+1(−∞<t<+∞)

1.3 F分布F分布F分布

1.3.1 定义

设随机变量XXX和YYY相互独立，且X∼χ2(n1)X \sim \chi^2(n_1)X∼χ2(n1)，Y∼χ2(n2)Y \sim \chi^2(n_2)Y∼χ2(n2)，那么有：
F=X/n1Y/n2=n2n1XY∼F(n1,n2)F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}=\frac{n_2}{n_1} \frac{X}{Y} \sim F(n_1, n_2)F=Y/n2X/n1=n1n2YX∼F(n1,n2)

称统计量F服从第一自由度为n1n_1n1，第二自由度为n2n_2n2的FFF分布。

1.3.2 概率密度函数（PDF）

f(u)={Γ(n1+n22)Γ(n12)Γ(n22)n1n12n2n22un12−1(n1u+n2)n1+n22,u>00,u⩽0f(u)=\left\{\begin{matrix} \frac{\Gamma(\frac{n_1+n_2}{2})}{\Gamma(\frac{n_1}{2}) \Gamma(\frac{n_2}{2})} n_1^{\frac{n_1}{2}}n_2^{\frac{n_2}{2}} \frac{u^{\frac{n_1}{2}-1}}{(n_1u+n_2)^{\frac{n_1+n_2}{2}}} \quad, \quad u>0 \\ 0, \qquad \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \ \ u \leqslant 0 \end{matrix}\right.f(u)=⎩⎨⎧Γ(2n1)Γ(2n2)Γ(2n1+n2)n12n1n22n2(n1u+n2)2n1+n2u2n1−1,u>00, u⩽0

2. 若干定理

2.1 样本均值的分布

设X1X_1X1， X2X_2X2，··· ， XnX_nXn为总体N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ2)的一个样本，那么对于样本均值X‾\overline{X}X，有：
X‾∼N(μ,σ2/n)\overline{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)X∼N(μ,σ2/n)

2.2 样本方差的分布

设X1X_1X1， X2X_2X2，··· ， XnX_nXn为总体N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ2)的一个样本，那么样本方差S2S^2S2与样本均值X‾\overline{X}X相互独立，并且：
n−1σ2S2∼χ2(n−1)\frac{n-1}{\sigma^2} S^2 \sim \chi^2(n-1)σ2n−1S2∼χ2(n−1)

2.3

设X1X_1X1， X2X_2X2，··· ， XnX_nXn为总体N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ2)的一个样本，X‾\overline{X}X与S2S^2S2分别为样本均值和样本方差，那么：
(X‾−μ)nS∼t(n−1)\frac{(\overline{X} - \mu) \sqrt{n}}{S} \sim t(n-1)S(X−μ)n∼t(n−1)

3. 讨论

Last.参考文献

概率论与数理统计，王勇，高等教育出版社

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