第二类边界条件

弦的横振动方程 * 回顾 1、Delta函数及其性质 2、Laplace变换及其性质 3、Laplace变换的应用 (线性性质、位移性质、延迟性质、相似性质、 微分性质、积分性质、卷积性质) 第七章 数学物理定解问题 物理学中常见的数学物理方程 静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 波的传播问题中的波动方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 连续介质力学中的Navier-Stokes方程组和Euler方程组 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 作为微观物质运动规律的Schr?dinger和Dirac方程 弹性力学中的de Saint-Venant方程组 二阶线性偏微分方程(组) 静电势的Laplace方程或Poisson方程 由静电场的性质： 或者: 在均匀导体中，静电势满足Laplace方程： 在有电荷分布的区域，静电势满足Poisson方程： (静电场方程) 稳定问题 1. 弦的微小横振动 考察一根长为 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确： 确定弦的运动方程 (2)被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律. (3)按物理定理写出数学物理方程 要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 注意： 物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设使方程简化以便求解． 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点需具有一般性。 根据牛顿第二定律 方向运动的方程可以描述为： 作用于小段 的纵向合力应该为零： 仅考虑微小的横振动， 夹角 为很小的量，忽略 及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有 注意到: 故得 这样，我们就得到(忽略弦的重力)： 因此在微小横振动条件下，可得出 又因为： 综上，可得： 弦(自由)振动方程 (弦中的张力不随 x 变化) 如果弦振动过程中受到横向外力的作用，则振动方程应为： 弦的受迫振动方程 均匀杆的纵振动方程 均匀杆中 x 处 dx 段的运动方程为 可得 　 这就是杆的纵振动方程． 热传导方程 k 是热传导系数，c是比热，ρ是密度。 扩散方程 D 是扩散系数。 量子力学中的Schr?dinger方程 如果势能函数不显含时间，则上述方程简化为： 含时Schr?dinger方程 定态Schr?dinger方程 边界条件与初始条件 由物理学规律出发得到的数学物理方程是某一类(或几类) 物理现象所必需遵循的，并不能唯一地、确定地描写某一个具体 的物理过程。例如从Newton第二运动定律得到的动力学方程并不 能唯一地确定质点的运动；完全确定质点的运动还需要有初始条 件。 一般地，要完全描写一个具有确定解的物理问题，在数学上 就是要构成一个定解问题。除了微分方程之外，构成定解问题还 必须有边界条件和初始条件。边界条件用于确定体系和外界的相 互作用，初始条件用于确定体系的历史状况。 初始条件 初始条件用于确定体系的历史状况，当所考察的物理现象 是随时间变化的时候，需要确定体系的初始条件来唯一确定地 描述该现象。(稳定问题不需要初始条件) 如对于传导或扩散过程，需要初始条件确定体系的初始状态： 对于振动过程，所需初始条件则需要包含速度的信息： 边界条件 体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的边界情况由边界 条件确定. 边界条件反应体系和外界的界面上的情况. 常见的边界条件可以分为三类 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 *