正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5488

题目大意

求一个长度为nnn的序列的kkk阶差分/前缀和。

解题思路

先考虑前缀和怎么做
搞出来生成函数就是(∑i=0naixi)∗(∑i=0∞xi)k(\sum_{i=0}^na_ix^i)*(\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^k(i=0∑naixi)∗(i=0∑∞xi)k

然后根据常识我们知道(∑i=0∞xi)k=∑i=0∞(i+k−1i)xi(\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^k=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{i+k-1}{i}x^i(∑i=0∞xi)k=∑i=0∞(ii+k−1)xi，当然也可以理解为xix^ixi的系数就是每次会往后跳任意格（可以是000），然后kkk次跳iii步的方案数。

之后式子(∑i=0naixi)∗(∑i=0∞(i+k−1i)xi)(\sum_{i=0}^na_ix^i)*(\sum_{i=0}^{\infty}\binom{i+k-1}{i}x^i)(i=0∑naixi)∗(i=0∑∞(ii+k−1)xi)

直接卷就好了

然后是差分，就是∑i=0naixi(∑i=0∞xi)k\frac{\sum_{i=0}^na_ix^i}{(\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^k}(∑i=0∞xi)k∑i=0naixi
直接上多项式除法就好。考虑怎么转换这个式子，我们需要用生成函数的方法了，上等比数列公式就有(∑i=0∞xi)k=1(1−x)k(\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^k=\frac{1}{(1-x)^k}(∑i=0∞xi)k=(1−x)k1

那么它的倒数就是(1−x)k(1-x)^k(1−x)k，上二项式定理就有∑i=0k(−1)i(ki)xi\sum_{i=0}^k(-1)^i\binom{k}{i}x^i∑i=0k(−1)i(ik)xi

然后也是两个式子卷起来就好了。

然后kkk可以直接模ppp，考虑f(k)=(∑i=0∞xi)kf(k)=(\sum_{i=0}^\infty x^i)^kf(k)=(∑i=0∞xi)k那么有f(kn)=f(k)nf(k^n)=f(k)^nf(kn)=f(k)n所以直接让kkk模ppp即可

时间复杂度O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)

codecodecode

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=(1e5)*6,P=1004535809,g=3;
struct poly{ll a[N],n;
}G,F;
ll n,k,t,inv[N],r[N];
char s[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void NTT(ll *f,ll op,ll n){for(ll i=0;i<n;i++)if(r[i]<i)swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=(p>>1);ll tmp=power(g,(P-1)/p);if(op)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op){int invn=power(n,P-2);for(int i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return;
}
void mul(poly &a,poly &b){ll n=1;while(n<=a.n+b.n)n<<=1;for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)^((i&1)?(n>>1):0);NTT(a.a,0,n);NTT(b.a,0,n);for(ll i=0;i<n;i++)a.a[i]=a.a[i]*b.a[i]%P;NTT(a.a,1,n);return;
}
int main()
{scanf("%lld",&n);scanf("%s",s);ll l=strlen(s);scanf("%lld",&t);for(ll i=0;i<l;i++)k=(k*10+s[i]-'0')%P;inv[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++)inv[i]=(P-(P/i)*inv[P%i]%P)%P;for(ll i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&F.a[i]);G.a[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++){if(!t)G.a[i]=G.a[i-1]*(i+k-1)%P*inv[i]%P;else{if(i>k)break;G.a[i]=(-1)*G.a[i-1]*(k-i+1)%P*inv[i]%P;G.a[i]=(G.a[i]+P)%P;}}G.n=F.n=n;mul(G,F);for(ll i=0;i<n;i++)printf("%lld ",G.a[i]);return 0;
}

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