第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波4 - 单变量的离散傅里叶变换DFT

2024-05-14 01:39:46

目录标题

单变量的离散傅里叶变换
- 由取样后的函数的连续变换得到DFT
- 取样和频率间隔的关系

单变量的离散傅里叶变换

由取样后的函数的连续变换得到DFT

对原函数的变换取样后的业的发展的变换F~(μ)\tilde F(\mu)F~(μ)，但未给出取样后的函数f~(t)\tilde f(t)f~(t)的变换F~(μ)\tilde F(\mu)F~(μ)的表达式。
F~(μ)=∫−∞∞f~(t)e−j2πμtdt(4.39)\tilde F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(t) e^{-j2\pi\mu t} dt\tag{4.39}F~(μ)=∫−∞∞f~(t)e−j2πμtdt(4.39)

F~(μ)=∫−∞∞f~(t)e−j2πμtdt=∫−∞∞∑n=−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=∑n=−∞∞∫−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=∑n=−∞∞fne−j2πμnΔT(4.40)\begin{aligned} \tilde F(\mu) & = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(t) e^{-j2\pi\mu t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n = -\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - n\Delta T) e^{-j2\pi\mu t} dt\\ & = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - n\Delta T) e^{-j2\pi\mu t} dt \\ & = \sum_{n = -\infty}^{\infty} f_n e^{-j2\pi\mu n \Delta T} \end{aligned} \tag{4.40}F~(μ)=∫−∞∞f~(t)e−j2πμtdt=∫−∞∞n=−∞∑∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=n=−∞∑∞∫−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=n=−∞∑∞fne−j2πμnΔT(4.40)

μ=mMΔT,m=0,1,2,⋯,M−1(4.41)\mu = \frac{m}{M\Delta T}, \quad m = 0, 1, 2, \cdots, M-1 \tag{4.41}μ=MΔTm,m=0,1,2,⋯,M−1(4.41)

下面表达式就是我们所求的离散傅里叶变换
Fm=∑n=0M−1fne−j2πμnm/M,m=0,1,2,⋯,M−1(4.42)F_m = \sum_{n = 0}^{M - 1} f_n e^{-j2\pi\mu n m/M}, \quad m = 0, 1, 2, \cdots, M-1 \tag{4.42}Fm=n=0∑M−1fne−j2πμnm/M,m=0,1,2,⋯,M−1(4.42)

离散傅里叶反变换
fn=1M∑m=0M−1Fmej2πμnm/M,n=0,1,2,⋯,M−1(4.43)f_n = \frac{1}{M}\sum_{m = 0}^{M - 1} F_m e^{j2\pi\mu n m/M}, \quad n = 0, 1, 2, \cdots, M-1 \tag{4.43}fn=M1m=0∑M−1Fmej2πμnm/M,n=0,1,2,⋯,M−1(4.43)

一般二维情况下，使用xxx和yyy表示图像坐标变量并使用uuu和vvv表示频率变量更为直观。离散傅里叶变换对可以改写为
F(u)=∑x=0M−1f(x)e−j2πux/M,u=0,1,2,⋯,M−1(4.44)F(u) = \sum_{x = 0}^{M - 1} f(x) e^{-j2\pi u x/M}, \quad u = 0, 1, 2, \cdots, M-1 \tag{4.44}F(u)=x=0∑M−1f(x)e−j2πux/M,u=0,1,2,⋯,M−1(4.44)

离散傅里叶反变换
f(x)=1M∑u=0M−1F(u)ej2πux/M,x=0,1,2,⋯,M−1(4.45)f(x) = \frac{1}{M}\sum_{u = 0}^{M - 1} F(u) e^{j2\pi u x/M}, \quad x = 0, 1, 2, \cdots, M-1 \tag{4.45}f(x)=M1u=0∑M−1F(u)ej2πux/M,x=0,1,2,⋯,M−1(4.45)

取样和频率间隔的关系

# 例4.4 计算DFT
# x = 0, 1, 2, 3
# f(x) = 1, 2, 4, 4
x = np.arange(4)
y = np.array([1, 2, 4, 4])
fft = np.fft.fft(y)
print('DFT')
print(fft)# IDFT反变换
ifft = np.fft.ifft(fft)
print('IDFT')
print(ifft)

DFT
[11.+0.j -3.+2.j -1.+0.j -3.-2.j]
IDFT
[1.+0.j 2.+0.j 4.+0.j 4.+0.j]

第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波4 - 单变量的离散傅里叶变换DFT相关推荐

第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波5 - 二变量函数的傅里叶变换、图像中的混叠、二维离散傅里叶变换及其反变换
目录二变量函数的傅里叶变换二维冲激及其取样性质二维连续傅里叶变换对二维取样和二维取样定理图像中的混叠二维离散傅里叶变换及其反变换二变量函数的傅里叶变换二维冲激及其取样性质两个连续变量 ...
第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波10 - 使用低通频率域滤波器平滑图像 - 理想、高斯、巴特沃斯低通滤波器
目录使用低通频率域滤波器平滑图像理想低通滤波器(ILPF) 高斯低通滤波器(GLPF) 巴特沃斯低通滤波器低通滤波的例子使用低通频率域滤波器平滑图像理想低通滤波器(ILPF) 在以原点为中心 ...
第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波11 - 使用高通滤波器锐化图像
目录使用高通滤波器锐化图像由低通滤波器得到理想.高斯和巴特沃斯高通滤波器指纹增强频域中的拉普拉斯钝化掩蔽.高提升滤波和高频强调滤波同态滤波使用高通滤波器锐化图像由低通滤波器得到理想.高 ...
第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波2 - 复数、傅里叶级数、连续单变量函数的傅里叶变换、卷积
目录基本概念复数傅里叶级数冲激函数及其取样(筛选)性质连续单变量函数的傅里叶变换卷积基本概念复数复数CCC的定义为 C=R+jI(4.3)C = R + jI \tag{4.3}C= ...
第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波8 - 二维DFT和IDFT的一些性质 - 二维离散卷积定理
目录二维DFT和IDFT的一些性质二维离散卷积定理二维离散傅里叶变换性质的小结二维DFT和IDFT的一些性质二维离散卷积定理二维循环卷积表达式: (f⋆h)(x,y)=∑m=0M−1∑n= ...
第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波1 - 傅里叶级数和变换简史
本章主要讲解频域域滤波的技术,主要技术用到是大家熟悉的傅里叶变换与傅里叶反变换.这里有比较多的篇幅讲解的傅里叶的推导进程,用到Numpy傅里叶变换.本章理论基础比较多,需要更多的耐心来阅读,有发现有错 ...
第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波12 - 选择性滤波 - 带阻
目录选择性滤波带阻滤波器和带通滤波器陷波滤波器选择性滤波处理特定的频带的滤波器称为频带滤波器带阻滤波器: 若某个频带中的频率被滤除带通滤波器: 若某个频带中的频率被通过处理小频率矩形区 ...
第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波6 - 二维DFT和IDFT的一些性质 - 平移和旋转、周期性、对称性
目录二维DFT和IDFT的一些性质空间间隔和频率间隔的关系平移和旋转周期性对称性二维DFT和IDFT的一些性质空间间隔和频率间隔的关系 Δu=1MΔT(4.69)\Delta u = \ ...
第4章 Python 数字图像处理(DIP) - 频率域滤波7 - 二维DFT和IDFT的一些性质 - 傅里叶频谱和相角
目录二维DFT和IDFT的一些性质傅里叶频谱和相角二维DFT和IDFT的一些性质傅里叶频谱和相角 F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=∣F(u,v)∣ejϕ(u,v)(4.86)F(u ...

最新文章

热门文章