范畴论:1.3 大大小小的范畴
你可以通过学习各种各样的例子来真正欣赏范畴。范畴有各种形状和大小，经常出现在意想不到的地方。我们将从一些非常简单的东西开始。
3.1 No Objects
最小的范畴是拥有 0 个对象的范畴。因为没有对象，自然也就没有态射。它本身是一个非常可悲的范畴，但是它在其他范畴的上下文中可能很重要，例如，在所有范畴的范畴中(是的，有这么一个范畴)。如果你认为一个空集是有意义的，那么为什么空范畴就不会有意义呢?
3.2 Simple Graphs
您可以通过用箭头【arrows】连接对象【objects】来构建范畴【category】。您可以想象从任何一个有向图【directed graph】开始，通过简单地添加更多箭头【arrows】，即可以将其变成一个范畴。首先，在有向图【directed graph】的每个节点上添加一个恒等箭头【Identity Arrow】。然后为任意两个首尾相连的箭头(换句话说，即任意两个可组合的箭头)增加一个组合箭头。每次你添加新箭头时，还必须要考虑任意其他箭头(除恒等箭头之外)与其自身的组合。通常会得到无穷多个箭头，但这没关系。
让我们从另一个角度看这个过程，您正在创建一个范畴，对于有向图【directed graph】中的任一节点，范畴都有一个对应的对象【object】，而有向图【directed graph】中由所有可组合的边【edgs】所构成的链【chains】，范畴都有一个对应的态射 (你甚至可以把恒等态射看作为长度为零的链的特殊情况)。
PS:有向图【directed graph】中的“链【chains】”是指连续的边(即首尾相连的边)，它使得连接有向图【directed graph】中的两个顶点成为可能。通俗而言，边【edge】即是范畴中对象与对象之间的箭头，链【chains】则是箭头的组合！！
这种由给定的图而衍生出的范畴，被称为自由范畴【 free category】。它是一种自由构造【free construction】的例子，即给定一个结构，并用符合法则（这里指的是范畴的法则）的最小数量的条目来扩展它。我们接下来看到更多这样的例子。
3.3 Orders
现在出现了截然不同的情况！现在有这样一个范畴，它所包含的态射是用来描述两个对象【objects】之间的关系：小于等于的关系。那么我们接下来来检查它是否是一个范畴。
- 它有恒等态射吗？每一个对象都小于或者等于自身----匹配！
- 它可以组合吗？如果a<=b & b <= c，那么a <= c ----匹配！
具有这种关系的集(合)也被成为预序【preorder，也可称为准序列，即quasiorder】，因此预序本质上是一个范畴
注：
考虑集合 P 及其上的二元关系 <= 。若 <= 具有自反性和传递性，则称 <= 为预序。
具体来说，对任意 P 的元素 a，b 和 c，下列性质成立：
① a <= a (自反性)
② 若 a <= b 且 b <= c，则 a <= c (传递性)
带预序的集合称为预序集合。
如果一个预序同时满足反对称性（若 a <= b 且 b <= a，则 a = b）的预序被称为偏序。
如果一个预序同时满足对称性（若a <= b，则b <= a），则为等价关系
PS: 该定义中的 <= 指的是一个二元操作，并非小于等于的意思！！
除此之外，你还可以通过额外施加这样一个条件，即如果a <= b且b <= a，则必须a = b，来得到一个更强的关系，这也被称为偏序【partial order】。
最后，您还可以再施加一个条件，即集合中的任何两个对象都以某种方式彼此关联；这就得到了一个全序【total order，也成为线性序，即linear order】
注：
全序关系即集合 X上的反对称的、传递的和完全的二元关系（一般称其为 <=）。若 X满足全序关系，则下列陈述对于 X中的所有a,b和c成立：
① 反对称性：若 a <= b且b <= a则 a = b
② 传递性：若 a <= b且 b <= c则 a <= c
③ 完全性： a <= b 或 b <= 1
满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。 链还常用来描述偏序集合的全序子集。
全序关系的完全性可以如下这样描述：集合中的任何一对元素都是可相互比较的。
注意：完全性条件蕴涵了自反性： a <= a，因此全序关系也是（满足“完全性”条件的）偏序关系。
让我们把这些有序的集合描述为范畴。
预序是一个最多只有一个态射(该态射表示的是从任意对象a到任意对象b的映射)的范畴。对于这种范畴还有另外一个名字：瘦【thin】。一个预序也是一个瘦范畴。
在范畴C中，从对象a到对象b的态射集也被成为hom-set，写作
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