snoi 省选模拟赛day2t1 bzoj 2873: 光之大陆

Description

在光之大陆的土地上，各种势力盘根错节。来自光之峡谷的精灵，来自黑暗森林的亡灵，来自古老东方的人类共同生活在一起。善于打造装置的矮人，善于发明的侏儒，隐匿于山林的巨人也坚守着属于自己的领土。这些种族之间关系错综复杂，构成了极其庞大的关系网络。大魔法师小 P 想要研究其中的种族关系。

两个物种之间可以是盟友，也可以不是盟友，如果 a1,a2..an 满足 ai 和 ai+1 是盟友，且 an 和 a1 是盟友，则他们构成了一个联盟。

由于光之大陆正处于微妙的和平之中。所以一个合理的物种关系应满足如下条件 :

1 、对于任意两个物种 A,B, 都存在一个序列 A,a1,a2..an,B, 使得任意相邻两个种族是盟友 ( 注意 A,B 不一定是盟友 ) 。

2 、对于任意两个联盟 Sa,Sb, 都不存在一个物种既参加了联盟 Sa ，又参加了联盟 Sb 。

小 P 想知道，大陆上的 N 个种族一共有多少种可能的结盟关系，由于结果可能很大，你只需要输出答案 mod M 的值。

Input

一行两个正整数： N,M （含义如题所述）

Output

一个整数： ans 表示方案 mod M 的值

啊还是感觉碰到数学题就头大呀...

首先有一个很重要的结论，n个点选出一部分作为一个有m个大点（即树的点可以是一个环，边还是边）的生成树的方案数为n的m-2次方，由prufer编码可以得到。

根据题目的条件我们可以分析出，根据题目描述的关系，得出的图是一个有些点是一个环的树。那么如果我们用dp[i][j]表示考虑到第i个点，分成j个环的方案数，那么可以考虑以下转移

首先可以考虑枚举最后一个环的大小，设最后一个环的大小为k，首先因为环的排列不同，由环排列可知该环有(k-1)!种排列方案，又因为对称性所以为(k-1)!/2种，又因为一个环在树上的接口不同，则树的形态也不同，所以要再乘上k，表示换上每一个位置接到书上的不同方案。接着又因为是从i个点里选k个组成这棵树，又因为是无序的，所以共用c(i-1,k-1)种方案，那么便可以推出来dp方程dp[i][j]=Σ(k=1,k<=i) dp[i][k]*c[i-1][k-1]*fac[k-1]/2*k。

最后又因为上面的公式，所以答案就为Σ(k=1,k<=i) dp[i][k]*n^(k-2)次方，因为k=1的时候k-2次方为分数，所以k=1要单独处理（因为n个点就形成了一个环，所以就是一个环上的排列数/2即可）。

下附AC代码。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define maxn 205
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,mod;
ll fac[maxn];
ll mypow[maxn];
ll c[maxn][maxn];
ll dp[maxn][maxn];
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&mod);c[0][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){c[i][0]=1;c[i][i]=1;for(int j=1;j<i;j++){c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];if(c[i][j]>=mod) c[i][j]-=mod;}}fac[1]=1%mod;fac[3]=3%mod;for(int i=4;i<=n;i++) {fac[i]=fac[i-1]*i;fac[i]%=mod;}dp[0][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){for(int k=1;k<=i;k++){dp[i][j]+=((ll)c[i-1][k-1]*dp[i-k][j-1]*fac[k])%mod;if(dp[i][j]>=mod) dp[i][j]-=mod;}}}int ans=1;for(int i=3;i<=n-1;i++){ans*=i;ans%=mod;}int temp=1;for(int i=2;i<=n;i++){ans+=((ll)dp[n][i]*temp)%mod;if(ans>=mod) ans-=mod;temp*=n;temp%=mod;}printf("%d\n",ans);
}