LFSR的工作原理以及LFSR在CRC上的应用

一 LFSR

线性反馈移位寄存器(LFSR)是内测试电路中最基本的标准模块结构，既用作伪随机测试码产生器，也作为压缩测试结果数据的特征分析器。

一个n阶的LFSR由n个触发器和若干个异或门组成。在实际应用当中，主要用到两种类型的LFSR，即异或门外接线性反馈移位寄存器(IE型LFSR，图1)和异或门内接线性反馈移位寄存器(EE型LFSR，图2)。其中g0 g1g2 gn为’0’或’1’，Q1 Q2Q3 Qn为LFSR的输出，M(x)是输入的码字多项式，如M(x)=x4+ x1+1，表示输入端的输入顺序为11001，同样，LFSR的结构也可以表示为多项式G(x)，称为生成多项式：

G(x)=gn*xn+ …+g1*x1+g0；

图1 IE型LFSR

图2 EE型LFSR

以n = 3来做个例子,具体的电路图如图3所示：

图3 LFSR的电路结构

假设开始的时候(D2，D1，D0 ) = (0，0，1)，那么每过一个时钟周期会进行跳变一次，可以看到具体的跳变如图4所示：

图4 LFSR的输出跳变图

然后我们可以看到这个计数器循环起来了，无论进入那样一个状态除了0之外，都可以循环着回来，其实这里就相当于了一个3bit的伪随机数，很有意思，不是所有的多项式都有这个特性，我们现在在从数学上面来看看这个问题,其实最上面的电路是可以看成是一个除法电路，在Galois域的一个除法电路。现在假设的是R(x)是寄存器中剩余的数据，M(x)是输入的码字多项式，然后数学公式可以表示成：

然后分别计算出了Ｍ(ｘ)的各种情况，

对于这个部分的计算我开始走进了误区，因为开始我把这的除法当作二进制除法来算了，所以一直没得到正确的结果，后来我明白了这的除法是模二的除法，在LFSR的结果中，多项式中的“+”都是模2加，就是异或运算，所以是没有进位的概念；同样，这里的除法秀的也是模2除法，即除法过程中用到的减法是模2减法，是不会产生加法进位和减法借位的运算，所以在进行模2除法时，只要部分余数首位为1，便可上商1，否则上商0，然后按照模2减法求得余数，当被除数被除完时，最后得到比除数少一位的余数。

这里用一个例子说明一下，比如M(x)=x7时，R(x)=1;模2的计算公式如下：

所以这里一定要区别模2和二进制数之间的运算的区别。

M(x)和R(x)到底是什么意义呢？

比如M(x)=1时，R(x)=1，指的就是当M(x)输入一个1时，这时的R(x)为1，即寄存器剩余的数为001，即Q1=1，Q2=0，Q3=0。

又M(x)=x时，R(x)=x，指的就是当M(x)顺序输入1，0时，这时的R(x)为x，即寄存器剩余的数为010，即Q1=0，Q2=1，Q3=0。

同理，可以知道，当M(x)=x6时，R(x)=x2+1，指的就是当M(x)顺序输入1，0，0，0，0，0，0时，这时的R(x)为x2+1，即寄存器剩余的数为010，即Q1=1，Q2=0，Q3=1。

可以看出，当第一个时钟时输入端输入一个1时，以后保持输入端为0，则随着时钟的到来，输入码字多项式就是按照1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，…，xn这样的顺序发展着，观察前六个输入的R(x)分别对应的输出为：001，010，100，011，101，111，101，111，刚好为除去000的其他七个状态，当M(x)为x7时，输出又回来001，所以输出一直这样循环下去，因此LFSR可以用来BIST的伪随机测试码产生器。

二 CRC(参考博文http://blog.sina.com.cn/s/blog_468e65190100cxq3.html)

循环冗余校验码(CRC)的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫(N，K)码。对于一个给定的(N，K)码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)可以使整个编码被除余数为0。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2的R次方，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2的R次方除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

通过CRC的生成原理知道CRC的检验码生成是通过除法得到，由此联想到可以通过LFSR来产生校验码。

假设原信息码子多项式为

生成多项式为

那么CRC的码字为 ，使用用LFSR电路来进行实现，将M(x)向左移r位在电路中的意义即为输入完信息码后再输入r个0，所以在电路上的表现就如图5所示。

图5 使用LFSR来产生CRE校验码

将这个时刻产生的寄存器输入添加到原信息码的后边就进行完了CRC编码，同样接收端可以使用LFSR来进行CRC检验。

来自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_62d9edac01015lsd.html

CRC算法与实现

[ 2009-8-15 2:04:00 | By: Aries ]

CRC的全称为Cyclic Redundancy Check，中文名称为循环冗余校验。它是一类重要的线性分组码，编码和解码方法简单，检错和纠错能力强，在通信领域广泛地用于实现差错控制。实际上，除数据通信外，CRC在其它很多领域也是大有用武之地的。例如我们读软盘上的文件，以及解压一个ZIP文件时，偶尔会碰到“Bad CRC”错误，由此它在数据存储方面的应用可略见一斑。

差错控制理论是在代数理论基础上建立起来的。这里我们着眼于介绍CRC的算法与实现，对原理只能捎带说明一下。若需要进一步了解线性码、分组码、循环码、纠错编码等方面的原理，可以阅读有关资料。

利用CRC进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督码(CRC码)，附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共k+r位，然后发送出去。在接收端，根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以确定传送中是否出错。这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。

1 代数学的一般性算法

在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。例如 1100101 表示为

1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1，即 x6+x5+x2+1。

设编码前的原始信息多项式为P(x)，P(x)的最高幂次加1等于k；生成多项式为G(x)，G(x)的最高幂次等于r；CRC多项式为R(x)；编码后的带CRC的信息多项式为T(x)。

发送方编码方法：将P(x)乘以xr(即对应的二进制码序列左移r位)，再除以G(x)，所得余式即为R(x)。用公式表示为

T(x)=xrP(x)+R(x)

接收方解码方法：将T(x)除以G(x)，如果余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。

举例来说，设信息码为1100，生成多项式为1011，即P(x)=x3+x2，G(x)=x3+x+1，计算CRC的过程为

xrP(x) x3(x3+x2) x6+x5 x

-------- = ---------- = -------- = (x3+x2+x) + --------

G(x) x3+x+1 x3+x+1 x3+x+1

即 R(x)=x。注意到G(x)最高幂次r=3，得出CRC为010。

如果用竖式除法，计算过程为

1110

-------

1011 /1100000 (1100左移3位)

1011

----

1110

1011

-----

1010

1011

-----

0010

0000

----

010

因此，T(x)=(x6+x5)+(x)=x6+x5+x, 即 1100000+010=1100010

如果传输无误，

T(x) x6+x5+x

------ = --------- = x3+x2+x,

G(x) x3+x+1

无余式。回头看一下上面的竖式除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1时，就能除尽。

上述推算过程，有助于我们理解CRC的概念。但直接编程来实现上面的算法，不仅繁琐，效率也不高。实际上在工程中不会直接这样去计算和验证CRC。

下表中列出了一些见于标准的CRC资料：

名称

生成多项式

简记式*

应用举例

CRC-4

x4+x+1

ITU G.704

CRC-12

x12+x11+x3+x+1

CRC-16

x16+x12+x2+1

1005

IBM SDLC

CRC-ITU**

x16+x12+x5+1

1021

ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS

CRC-32

x32+x26+x23+...+x2+x+1

04C11DB7

ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS

CRC-32c

x32+x28+x27+...+x8+x6+1

1EDC6F41

SCTP

* 生成多项式的最高幂次项系数是固定的1，故在简记式中，将最高的1统一去掉了，如04C11DB7实际上是104C11DB7。

** 前称CRC-CCITT。ITU的前身是CCITT。

2 硬件电路的实现方法

多项式除法，可用除法电路来实现。除法电路的主体由一组移位寄存器和模2加法器(异或单元)组成。以CRC-ITU为例，它由16级移位寄存器和3个加法器组成，见下图(编码/解码共用)。编码、解码前将各寄存器初始化为"1"，信息位随着时钟移入。当信息位全部输入后，从寄存器组输出CRC结果。

3 比特型算法

上面的CRC-ITU除法电路，完全可以用软件来模拟。定义一个寄存器组，初始化为全"1"。依照电路图，每输入一个信息位，相当于一个时钟脉冲到来，从高到低依次移位。移位前信息位与bit0相加产生临时位，其中bit15移入临时位，bit10、bit3还要加上临时位。当全部信息位输入完成后，从寄存器组取出它们的值，这就是CRC码。

typedef unsigned char bit;

typedef unsigned char byte;

typedef unsigned short u16;

typedef union {

u16 val;

struct {

u16 bit0 : 1;

u16 bit1 : 1;

u16 bit2 : 1;

u16 bit3 : 1;

u16 bit4 : 1;

u16 bit5 : 1;

u16 bit6 : 1;

u16 bit7 : 1;

u16 bit8 : 1;

u16 bit9 : 1;

u16 bit10 : 1;

u16 bit11 : 1;

u16 bit12 : 1;

u16 bit13 : 1;

u16 bit14 : 1;

u16 bit15 : 1;

} bits;

} CRCREGS;

// 寄存器组

CRCREGS regs;

// 初始化CRC寄存器组：移位寄存器置为全"1"

void crcInitRegisters()

{

regs.val = 0xffff;

}

// CRC输入一个bit

void crcInputBit(bit in)

{

bit a;

a = regs.bits.bit0 ^ in;

regs.bits.bit0 = regs.bits.bit1;

regs.bits.bit1 = regs.bits.bit2;

regs.bits.bit2 = regs.bits.bit3;

regs.bits.bit3 = regs.bits.bit4 ^ a;

regs.bits.bit4 = regs.bits.bit5;

regs.bits.bit5 = regs.bits.bit6;

regs.bits.bit6 = regs.bits.bit7;

regs.bits.bit7 = regs.bits.bit8;

regs.bits.bit8 = regs.bits.bit9;

regs.bits.bit9 = regs.bits.bit10;

regs.bits.bit10 = regs.bits.bit11 ^ a;

regs.bits.bit11 = regs.bits.bit12;

regs.bits.bit12 = regs.bits.bit13;

regs.bits.bit13 = regs.bits.bit14;

regs.bits.bit14 = regs.bits.bit15;

regs.bits.bit15 = a;

}

// 输出CRC码(寄存器组的值)

u16 crcGetRegisters()

{

return regs.val;

}

crcInputBit中一步一步的移位/异或操作，可以进行简化：

void crcInputBit(bit in)

{

bit a;

a = regs.bits.bit0 ^ in;

regs.val >>= 1;

if(a) regs.val ^= 0x8408;

}

细心的话，可以发现0x8408和0x1021(CRC-ITU的简记式)之间的关系。由于我们是从低到高输出比特流的，将0x1021左右反转就得到0x8408。将生成多项式写成 G(x)=1+x5+x12+x16，是不是更好看一点？

下面是一个典型的PPP帧。最后两个字节称为FCS( Check Sequence)，是前面11个字节的CRC。

FF 03 C0 21 04 03 00 07 0D 03 06 D0 3A

我们来计算这个PPP帧的CRC，并验证它。

byte ppp[13] = {0xFF, 0x03, 0xC0, 0x21, 0x04, 0x03, 0x00, 0x07, 0x0D, 0x03, 0x06, 0x00, 0x00};

int i,j;

u16 result;

/// 以下计算FCS

// 初始化

crcInitRegisters();

// 逐位输入，每个字节低位在先，不包括两个FCS字节

for(i = 0; i < 11; i++)

{

for(j = 0; j < 8; j++)

{

crcInputBit((ppp[i] >> j) & 1);

}

}

// 得到CRC：将寄存器组的值求反

result = ~crcGetRegisters();

// 填写FCS，先低后高

ppp[11] = result & 0xff;

ppp[12] = (result >> 8) & 0xff;

/// 以下验证FCS

// 初始化

crcInitRegisters();

// 逐位输入，每个字节低位在先，包括两个FCS字节

for(i = 0; i < 13; i++)

{

for(j = 0; j < 8; j++)

{

crcInputBit((ppp[i] >> j) & 1);

}

}

// 得到验证结果

result = crcGetRegisters();

可以看到，计算出的CRC等于0x3AD0，与原来的FCS相同。验证结果等于0。初始化为全"1"，以及将寄存器组的值求反得到CRC，都是CRC-ITU的要求。事实上，不管初始化为全"1"还是全"0"，计算CRC取反还是不取反，得到的验证结果都是0。

4 字节型算法

比特型算法逐位进行运算，效率比较低，不适用于高速通信的场合。数字通信系统(各种通信标准)一般是对一帧数据进行CRC校验，而字节是帧的基本单位。最常用的是一种按字节查表的快速算法。该算法基于这样一个事实：计算本字节后的CRC码，等于上一字节余式CRC码的低8位左移8位，加上上一字节CRC右移8位和本字节之和后所求得的CRC码。如果我们把8位二进制序列数的CRC(共256个)全部计算出来，放在一个表里 ，编码时只要从表中查找对应的值进行处理即可。

CRC-ITU的计算算法如下：

a.寄存器组初始化为全"1"(0xFFFF)。

b.寄存器组向右移动一个字节。

c.刚移出的那个字节与数据字节进行异或运算，得出一个指向值表的索引。

d.索引所指的表值与寄存器组做异或运算。

f.数据指针加1，如果数据没有全部处理完，则重复步骤b。

g.寄存器组取反，得到CRC，附加在数据之后。

CRC-ITU的验证算法如下：

a.寄存器组初始化为全"1"(0xFFFF)。

b.寄存器组向右移动一个字节。

c.刚移出的那个字节与数据字节进行异或运算，得出一个指向值表的索引。

d.索引所指的表值与寄存器组做异或运算。

e.数据指针加1，如果数据没有全部处理完，则重复步骤b (数据包括CRC的两个字节)。

f.寄存器组的值是否等于“Magic Value”(0xF0B8)，若相等则通过，否则失败。

下面是通用的CRC-ITU查找表以及计算和验证CRC的C语言程序：

// CRC-ITU查找表

const u16 crctab16[] =

{

0x0000, 0x1189, 0x2312, 0x329b, 0x4624, 0x57ad, 0x6536, 0x74bf,

0x8c48, 0x9dc1, 0xaf5a, 0xbed3, 0xca6c, 0xdbe5, 0xe97e, 0xf8f7,

0x1081, 0x0108, 0x3393, 0x221a, 0x56a5, 0x472c, 0x75b7, 0x643e,

0x9cc9, 0x8d40, 0xbfdb, 0xae52, 0xdaed, 0xcb64, 0xf9ff, 0xe876,

0x2102, 0x308b, 0x0210, 0x1399, 0x6726, 0x76af, 0x4434, 0x55bd,

0xad4a, 0xbcc3, 0x8e58, 0x9fd1, 0xeb6e, 0xfae7, 0xc87c, 0xd9f5,

0x3183, 0x200a, 0x1291, 0x0318, 0x77a7, 0x662e, 0x54b5, 0x453c,

0xbdcb, 0xac42, 0x9ed9, 0x8f50, 0xfbef, 0xea66, 0xd8fd, 0xc974,

0x4204, 0x538d, 0x6116, 0x709f, 0x0420, 0x15a9, 0x2732, 0x36bb,

0xce4c, 0xdfc5, 0xed5e, 0xfcd7, 0x8868, 0x99e1, 0xab7a, 0xbaf3,

0x5285, 0x430c, 0x7197, 0x601e, 0x14a1, 0x0528, 0x37b3, 0x263a,

0xdecd, 0xcf44, 0xfddf, 0xec56, 0x98e9, 0x8960, 0xbbfb, 0xaa72,

0x6306, 0x728f, 0x4014, 0x519d, 0x2522, 0x34ab, 0x0630, 0x17b9,

0xef4e, 0xfec7, 0xcc5c, 0xddd5, 0xa96a, 0xb8e3, 0x8a78, 0x9bf1,

0x7387, 0x620e, 0x5095, 0x411c, 0x35a3, 0x242a, 0x16b1, 0x0738,

0xffcf, 0xee46, 0xdcdd, 0xcd54, 0xb9eb, 0xa862, 0x9af9, 0x8b70,

0x8408, 0x9581, 0xa71a, 0xb693, 0xc22c, 0xd3a5, 0xe13e, 0xf0b7,

0x0840, 0x19c9, 0x2b52, 0x3adb, 0x4e64, 0x5fed, 0x6d76, 0x7cff,

0x9489, 0x8500, 0xb79b, 0xa612, 0xd2ad, 0xc324, 0xf1bf, 0xe036,

0x18c1, 0x0948, 0x3bd3, 0x2a5a, 0x5ee5, 0x4f6c, 0x7df7, 0x6c7e,

0xa50a, 0xb483, 0x8618, 0x9791, 0xe32e, 0xf2a7, 0xc03c, 0xd1b5,

0x2942, 0x38cb, 0x0a50, 0x1bd9, 0x6f66, 0x7eef, 0x4c74, 0x5dfd,

0xb58b, 0xa402, 0x9699, 0x8710, 0xf3af, 0xe226, 0xd0bd, 0xc134,

0x39c3, 0x284a, 0x1ad1, 0x0b58, 0x7fe7, 0x6e6e, 0x5cf5, 0x4d7c,

0xc60c, 0xd785, 0xe51e, 0xf497, 0x8028, 0x91a1, 0xa33a, 0xb2b3,

0x4a44, 0x5bcd, 0x6956, 0x78df, 0x0c60, 0x1de9, 0x2f72, 0x3efb,

0xd68d, 0xc704, 0xf59f, 0xe416, 0x90a9, 0x8120, 0xb3bb, 0xa232,

0x5ac5, 0x4b4c, 0x79d7, 0x685e, 0x1ce1, 0x0d68, 0x3ff3, 0x2e7a,

0xe70e, 0xf687, 0xc41c, 0xd595, 0xa12a, 0xb0a3, 0x8238, 0x93b1,

0x6b46, 0x7acf, 0x4854, 0x59dd, 0x2d62, 0x3ceb, 0x0e70, 0x1ff9,

0xf78f, 0xe606, 0xd49d, 0xc514, 0xb1ab, 0xa022, 0x92b9, 0x8330,

0x7bc7, 0x6a4e, 0x58d5, 0x495c, 0x3de3, 0x2c6a, 0x1ef1, 0x0f78,

};

// 计算给定长度数据的16位CRC。

u16 GetCrc16(const byte* pData, int nLength)

{

u16 fcs = 0xffff; // 初始化

while(nLength>0)

{

fcs = (fcs >> 8) ^ crctab16[(fcs ^ *pData) & 0xff];

nLength--;

pData++;

}

return ~fcs; // 取反

}

// 检查给定长度数据的16位CRC是否正确。

bool IsCrc16Good(const byte* pData, int nLength)

{

u16 fcs = 0xffff; // 初始化

while(nLength>0)

{

fcs = (fcs >> 8) ^ crctab16[(fcs ^ *pData) & 0xff];

nLength--;

pData++;

}

return (fcs == 0xf0b8); // 0xf0b8是CRC-ITU的"Magic Value"

}

使用字节型算法，前面出现的PPP帧FCS计算和验证过程，可用下面的程序片断实现：

byte ppp[13] = {0xFF, 0x03, 0xC0, 0x21, 0x04, 0x03, 0x00, 0x07, 0x0D, 0x03, 0x06, 0x00, 0x00};

u16 result;

// 计算CRC

result = GetCrc16(ppp, 11);

// 填写FCS，先低后高

ppp[11] = result & 0xff;

ppp[12] = (result >> 8) & 0xff;

// 验证FCS

if(IsCrc16Good(ppp, 13))

{

... ...

}

该例中数据长度为11，说明CRC计算并不要求数据2字节或4字节对齐。

至于查找表的生成算法，以及CRC-32等其它CRC的算法，可参考RFC 1661, RFC 3309等文档。需要注意的是，虽然CRC算法的本质是一样的，但不同的协议、标准所规定的初始化、移位次序、验证方法等可能有所差别。 来自：http://blog.21ic.com/user1/5730/archives/2009/61624.html