[扩展中国剩余定理(EXCRT)]

前言

与这个定理搏斗了一天终于把它kill 了哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈

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题目描述

给定 n 组非负整数 ai,bi,求解关于 x 的方程组

　　　　　　　　　　　　x ≡ a1 （mod b1）

　　　　　　　　　　　　x ≡ a2 （mod b2）

　　　　　　　　　　　　x ≡ an （mod bn）

声明： M 表示前 i-1 个bi 的最小公倍数（LCM）, ans 表示满足前 i-1 个方程的最小解

初始化：特判第一组方程令 M = b1 , ans = a1（第一组的话 b1的最小公倍数就是自己，只看第一个方程 ans 就等于 a1）

从第二组开始：

　　　　　　　　LCM(b1,b2) = b1×b2 /（gcd（b1，b2））这个不需要证明

　　　　　　　　因为此时 M = b1 ，所以原式可化为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　LCM(M,b2) = M×b2 /（gcd（M，b2））

考虑： ans + t×M 一定是前 i-1 个方程的通解，因为 ans 是最小解所以 ans 加上前 i-1 个方程 bi 的最小公倍数一定是前 i-1 个方程的通解。（其中 t ∈ Z）

所以如果要使得 ans 也满足下一个方程的话（以第二个来举例）：

　　　　ans + t×M ≡ a2 （mod b2）此时 ans 是a1 是已知的

移项得 : t×M ≡ a2 - ans （mod b2）(这一看就是扩展欧几里得）(ax ≡ c (mod b)）

所以此时 t 就相当于是 x ，M 相当于是a ，a2 - ans 就相当于是c

所以利用扩展欧几里得可以解得t

但是我们要考虑一个问题扩展欧几里得的操作

也就是说我们解得的t 其实是 t × M ≡ gcd(M，b2) (mod b2) 的解

所以 a2 - ans 到 gcd(M，b2) 相当于是乘了一个 gcd(M，b2)/（a2 - ans）所以我们得到的解也相当于是乘了一个gcd(M，b2)/（a2 - ans）

那么真正的 t 应该是 t/（（gcd(M，b2)/（a2 - ans））

也就是 t * （a2 - ans）/gcd（M,b2）

那么对于下一次求解来说

更新答案： ans = ans + t * M，然后 ans = （ans%M + M） % M 保证ans 是最小的正整数解

　　因为 LCM(M,b2) = M×b2 /（gcd（M，b2））所以 M *= b2 /（gcd（M，b2））。

同理循环 n - 1 次得到最小的 ans 也就是要求的 x

下面贴代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn = 100005;int n;LL ai[maxn],bi[maxn];LL quickmul(LL a,LL b,LL mod)// 这是龟速乘
{LL res = 0;while(b){if(b & 1) res = (res + a) % mod;a = (a + a) % mod;b >>= 1; }return res % mod;
}LL exGcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)// 扩欧
{if(!b){x = 1;y = 0;return a;}LL r = exGcd(b,a%b,x,y);LL t = x; x = y; y = t - a/b * y;return r;
}LL exCrt()
{LL x,y;LL M = bi[1], ans = ai[1];//  特判 第一组 解 for(int i=2;i<=n;i++){LL a = M, b = bi[i], c = (ai[i] - ans % b + b) % b;// a*x ≡ c (mod b)
        LL gcd = exGcd(a,b,x,y);x = quickmul(x,c/gcd,b/gcd);// 相当于 x *= c/gcd
        ans += x * M;M *= (b / gcd);ans = (ans % M + M) % M;// 找最小的ans
    }return (ans % M + M) % M;
}int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&bi[i],&ai[i]);printf("%lld",exCrt());return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/-Wind-/p/10705070.html

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