1 前言

感谢Wiki百科以及“Lagrange multiplier”编辑者们的帮助，
我感觉Wiki百科比百度百科好太多了，
Wiki百科“Lagrange multiplier”词条链接如下：
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier

2 问题描述

今天CV作业的问题是：已知一个游泳者要渡过多个平行的河流，每个河流的流速分别为：v1,v2,⋯ ,vnv_1,v_2,\cdots,v_nv1,v2,⋯,vn，为了简化问题，我们认为河流的流速都是竖直方向的；游泳者相对于水流的速度为vvv，速度v\boldsymbol{v}v与水平方向的夹角为a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_na1,a2,⋯,an；游泳者横渡所有河流的总时间为T，且游泳者必须度过这些河流。
通过归纳问题，我们可以得到以下数学模型，即：
设tit_iti为游泳者横渡第i条河所用的时间，ti∈N+t_i \in N^+ti∈N+，
则有，t1+t2+⋯+tn=Tt_1+t_2+\cdots+t_n=Tt1+t2+⋯+tn=T，
且ti=siv⋅cosait_i=\frac{s_i}{v \cdot \text{cos}a_i}ti=v⋅cosaisi，
∴总共行进的竖直距离为
y=∑i=0n(vi+v⋅sinai)tiy=\sum_{i=0}^{n}\left ( v_i+v\cdot \text{sin}a_i \right )t_iy=∑i=0n(vi+v⋅sinai)ti
可以看到，这是一个求取在限制条件“T”下求取y最大值的最优解问题。那么如何使用 Lagrange Multiplier方法来求解呢？

3 使用 Lagrange Multiplier方法解决带有一个条件限制的最优解问题

我们可以使用 Lagrange Multiplier方法来求取y的最优解，使用 Lagrange Multiplier方法，我们首先需要明确的是限制条件的模型到底是什么；
这里我们看到“t1+t2+⋯+tn=Tt_1+t_2+\cdots+t_n=Tt1+t2+⋯+tn=T是唯一的限制条件，但是其实这个限制条件从本质上来说，实际是关于a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_na1,a2,⋯,an这n个变量的多元函数，具体的推导过程如下：
tit_iti带入T的方程中，
则有，∑i=0nsiv⋅cosai=T\sum_{i=0}^{n}\frac{s_i}{v \cdot \text{cos}a_i}=T∑i=0nv⋅cosaisi=T，
∴限制条件可以归纳为一个多元函数，即：
g(a1,a2,⋯ ,an)=∑i=0nsiv⋅cosai−T=0g\left ( a_1,a_2,\cdots,a_n \right )=\sum_{i=0}^{n}\frac{s_i}{v \cdot \text{cos}a_i}-T=0g(a1,a2,⋯,an)=∑i=0nv⋅cosaisi−T=0

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使用 Lagrange Multiplier解决带有一个条件限制的最优解问题

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