前n个自然数的平方和的求解方法--经典与独创

用数数办法求解：

O OO OOO。。。n个O

OO OOO。。。n个O

OOO。。。n个O

。。。n个O

f(n)=1+2+3+...+n

+2+3+...+n

+3+...+n

...

=n(n+1)/2+(n-1)(n+2)/2+(n-2)(n+3)/2+...+(n-(n-1))*(n+n)/2

=n(n+1)/2+n(n+1)/2-1*2/2 +n(n+1)/2-2*3/2+...+n(n+1)/2-(n-1)*n/2

=n(n+1)*n/2-(1*2+2*3+...+(n-1)*n)/2

=n(n+1)*n/2-(Y)/2

从数数的O图上可知，Y/2为左下角O的数量，X为右上角O的数量

X-Y=1+2+3+...+n=n(n+1)/2

所以：X=n(n+1)(2n+1)/6

Y=(1*2+2*3+...+(n-1)*n)=(n-1)n(n+1)/3

也可以先推出Y：(与X的推导类似)

左下角O的数量(按列相加)：Y/2=（n-1)*1+(n-2)*2+..+(n-(n-1))*(n-1)

=（n-1)*1+(n-1)*2-1*2+..+(n-1))*(n-1)-(n-2)*(n-1)

=(n-1)(n-1)*n/2-(1*2+..+(n-2)*(n-1))

=(n-1)(n-1)*n/2-(Y-(n-1)*n)

所以Y=(1*2+2*3+...+(n-1)*n)=(n-1)n(n+1)/3

构造幂函数法求解

由f(n)=n(n+1)/2+(n-1)(n+2)/2+(n-2)(n+3)/2+...+(n-(n-1))*(n+n)/2

知f(n)是由n个关于n的2次幂函数线性组成，设

f(n)=a*n^3+b*n^2+c*n+d是关于[a;b;c;d]的线性方程，取n=1、2、3、4；解线性方程组可得解。

最经典解法

由（n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1得到

（n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

两边从n=1、2、3到n；n项组合相加即可得结果。

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