第十五天 图【下】（大结局）
2024-06-04 23:29:25
今天是大结局，说下“图”的最后一点东西，“最小生成树“和”最短路径“。
一： 最小生成树
1. 概念
首先看如下图，不知道大家能总结点什么。
对于一个连通图G，如果其全部顶点和一部分边构成一个子图G1，当G1满足：
① 刚好将图中所有顶点连通。②顶点不存在回路。则称G1就是G的“生成树”。
其实一句话总结就是：生成树是将原图的全部顶点以最小的边连通的子图，这不，如下的连通图可以得到下面的两个生成树。
② 对于一个带权的连通图，当生成的树不同，各边上的权值总和也不同，如果某个生成树的权值最小，则它就是“最小生成树”。
2. 场景
实际应用中“最小生成树”还是蛮有实际价值的，教科书上都有这么一句话，若用图来表示一个交通系统，每一个顶点代表一个城市，
边代表两个城市之间的距离，当有n个城市时，可能会有n(n-1)/2条边，那么怎么选择(n-1)条边来使城市之间的总距离最小，其实它
的抽象模型就是求“最小生成树”的问题。
3. prim算法
当然如何求“最小生成树”问题，前人都已经给我们总结好了，我们只要照葫芦画瓢就是了，
第一步：我们建立集合“V,U"，将图中的所有顶点全部灌到V集合中，U集合初始为空。
第二步： 我们将V1放入U集合中并将V1顶点标记为已访问。此时：U（V1）。
第三步： 我们寻找V1的邻接点（V2,V3,V5)，权值中发现(V1,V2)之间的权值最小，此时我们将V2放入U集合中并标记V2为已访问，
此时为U（V1，V2）。
第四步： 我们找U集合中的V1和V2的邻接边，一阵痉挛后，发现（V1，V5）的权值最小，此时将V5加入到U集合并标记为已访问，此时
U的集合元素为（V1，V2，V5）。
第五步：此时我们以（V1，V2，V5）为基准向四周寻找最小权值的邻接边，发现（V5，V4）的权值最小，此时将V4加入到U集合并标记
为已访问，此时U的集合元素为（V1，V2，V5，V4）。
第六步： 跟第五步形式一样，找到了（V1，V3）的权值最小，将V3加入到U集合中并标记为已访问，最终U的元素为（V1，V2，V5，V4，V3），
最终发现顶点全部被访问，最小生成树就此诞生。
View Code
#region prim算法获取最小生成树/// <summary>/// prim算法获取最小生成树/// </summary>/// <param name="graph"></param> public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum) {//已访问过的标志 int used = 0;
//非邻接顶点标志 int noadj = -1;
//定义一个输出总权值的变量 sum = 0;
//临时数组，用于保存邻接点的权值 int[] weight = new int[graph.vertexNum];
//临时数组，用于保存顶点信息 int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum];
//取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中 for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++) {//保存于邻接点之间的权值 weight[i] = graph.edges[0, i];
//等于0则说明V1与该邻接点没有边 if (weight[i] == short.MaxValue) tempvertex[i] = noadj;else tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]); }
//从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合 var index = tempvertex[0] = used;var min = weight[0] = short.MaxValue;
//在V的邻接点中找权值最小的节点 for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++) { index = i; min = short.MaxValue;
for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++) {//用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点 if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0) { min = weight[j]; index = j; } }//累加权值 sum += min;
Console.Write("({0},{1}) ", tempvertex[index], graph.vertex[index]);
//将取得的最小节点标识为已访问 weight[index] = short.MaxValue; tempvertex[index] = 0;
//从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++) {//已当前节点为出发点，重新选择最小边 if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used) { weight[j] = graph.edges[index, j];
//这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边 tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]); } } } }#endregion二： 最短路径
1. 概念
求最短路径问题其实也是非常有实用价值的，映射到交通系统图中，就是求两个城市间的最短路径问题，还是看这张图，我们可以很容易的看出比如
V1到图中各顶点的最短路径。
① V1 -> V2 直达， 权为2。
② V1 -> V3 直达 权为3。
③ V1->V5->V4 中转 权为3+2=5。
④ V1 -> V5 直达 权为3。
、
2. Dijkstra算法
我们的学习需要站在巨人的肩膀上，那么对于现实中非常复杂的问题，我们肯定不能用肉眼看出来，而是根据一定的算法推导出来的。
Dijkstra思想遵循 “走一步，看一步”的原则。
第一步： 我们需要一个集合U，然后将V1放入U集合中，既然走了一步，我们就要看一步，就是比较一下V1的邻接点（V2，V3，V5），
发现（V1，V2）的权值最小，此时我们将V2放入U集合中，表示我们已经找到了V1到V2的最短路径。
第二步：然后将V2做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现只有V4可以连通，此时修改V4的权值为（V1，V2)+(V2，V4)=6。
此时我们就要看一步，发现V1到（V3，V4，V5）中权值最小的是（V1，V5），此时将V5放入U集合中，表示我们已经找到了
V1到V5的最短路径。
第三步：然后将V5做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现能连通的有V3，V4，当我们正想修该V3的权值时发现（V1，V3）的权值
小于（V1->V5->V3),此时我们就不修改，将V3放入U集合中，最后我们找到了V1到V3的最短路径。
第四步：因为V5还没有走完，所以继续用V5做中间点，此时只能连通(V5,V4),当要修改权值的时候，发现原来的V4权值为(V1,V2)+(V2,V4),而
现在的权值为5，小于先前的6，此时更改原先的权值变为5，将V4放入集合中，最后我们找到了V1到V4的最短路径。
View Code
#region dijkstra求出最短路径/// <summary>/// dijkstra求出最短路径/// </summary>/// <param name="g"></param> public void Dijkstra(MatrixGraph g) {int[] weight = new int[g.vertexNum];
int[] path = new int[g.vertexNum];
int[] tempvertex = new int[g.vertexNum];
Console.WriteLine("\n请输入源点的编号：");
//让用户输入要遍历的起始点 int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1;
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) {//初始赋权值 weight[i] = g.edges[vertex, i];
if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0) path[i] = vertex;
tempvertex[i] = 0; }
tempvertex[vertex] = 1; weight[vertex] = 0;
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) {int min = short.MaxValue;
int index = vertex;
for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++) {//顶点的权值中找出最小的 if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min) { min = weight[j]; index = j; } }
tempvertex[index] = 1;
//以当前的index作为中间点，找出最小的权值 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++) {if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j]) { weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j]; path[j] = index; } } }
Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]);
//最后输出 for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) {if (tempvertex[i] == 1) {var index = i;
while (index != vertex) {var j = index; Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]); index = path[index]; } Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]); }else { Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]); } } }#endregion最后上一下总的运行代码
View Code
using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;
namespace MatrixGraph {public class Program {static void Main(string[] args) { MatrixGraphManager manager = new MatrixGraphManager();
//创建图 MatrixGraph graph = manager.CreateMatrixGraph();
manager.OutMatrix(graph);
int sum = 0;
manager.Prim(graph, out sum);
Console.WriteLine("\n最小生成树的权值为：" + sum);
manager.Dijkstra(graph);
//Console.Write("广度递归:\t");
//manager.BFSTraverse(graph);
//Console.Write("\n深度递归:\t");
//manager.DFSTraverse(graph);
Console.ReadLine();
} }
#region 邻接矩阵的结构图/// <summary>/// 邻接矩阵的结构图/// </summary> public class MatrixGraph {//保存顶点信息 public string[] vertex;
//保存边信息 public int[,] edges;
//深搜和广搜的遍历标志 public bool[] isTrav;
//顶点数量 public int vertexNum;
//边数量 public int edgeNum;
//图类型 public int graphType;
/// <summary>/// 存储容量的初始化/// </summary>/// <param name="vertexNum"></param>/// <param name="edgeNum"></param>/// <param name="graphType"></param> public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType) {this.vertexNum = vertexNum;this.edgeNum = edgeNum;this.graphType = graphType;
vertex = new string[vertexNum]; edges = new int[vertexNum, vertexNum]; isTrav = new bool[vertexNum]; }
}#endregion
/// <summary>/// 图的操作类/// </summary> public class MatrixGraphManager {#region 图的创建/// <summary>/// 图的创建/// </summary>/// <param name="g"></param> public MatrixGraph CreateMatrixGraph() { Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。");
var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList();
MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);
//我们默认“正无穷大为没有边” for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) {for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++) { graph.edges[i, j] = short.MaxValue; } }
Console.WriteLine("请输入各顶点信息：");
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) { Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");
var single = Console.ReadLine();
//顶点信息加入集合中 graph.vertex[i] = single; }
Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");
for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++) { Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t");
initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList();
int start = initData[0];int end = initData[1];int weight = initData[2];
//给矩阵指定坐标位置赋值 graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;
//如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称 if (graph.graphType == 1) { graph.edges[end - 1, start - 1] = weight; } }
return graph; }#endregion
#region 输出矩阵数据/// <summary>/// 输出矩阵数据/// </summary>/// <param name="graph"></param> public void OutMatrix(MatrixGraph graph) {for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) {for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++) {if (graph.edges[i, j] == short.MaxValue) Console.Write("∽\t");else Console.Write(graph.edges[i, j] + "\t"); }//换行 Console.WriteLine(); } }#endregion
#region 广度优先/// <summary>/// 广度优先/// </summary>/// <param name="graph"></param> public void BFSTraverse(MatrixGraph graph) {//访问标记默认初始化 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) { graph.isTrav[i] = false; }
//遍历每个顶点 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) {//广度遍历未访问过的顶点 if (!graph.isTrav[i]) { BFSM(ref graph, i); } } }
/// <summary>/// 广度遍历具体算法/// </summary>/// <param name="graph"></param> public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex) {//这里就用系统的队列 Queue<int> queue = new Queue<int>();
//先把顶点入队 queue.Enqueue(vertex);
//标记此顶点已经被访问 graph.isTrav[vertex] = true;
//输出顶点 Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]);
//广度遍历顶点的邻接点 while (queue.Count != 0) {var temp = queue.Dequeue();
//遍历矩阵的横坐标 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) {if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0) { graph.isTrav[i] = true;
queue.Enqueue(i);
//输出未被访问的顶点 Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]); } } } }#endregion
#region 深度优先/// <summary>/// 深度优先/// </summary>/// <param name="graph"></param> public void DFSTraverse(MatrixGraph graph) {//访问标记默认初始化 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) { graph.isTrav[i] = false; }
//遍历每个顶点 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) {//广度遍历未访问过的顶点 if (!graph.isTrav[i]) { DFSM(ref graph, i); } } }
#region 深度递归的具体算法/// <summary>/// 深度递归的具体算法/// </summary>/// <param name="graph"></param>/// <param name="vertex"></param> public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex) { Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]);
//标记为已访问 graph.isTrav[vertex] = true;
//要遍历的六个点 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++) {if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0) {//深度递归 DFSM(ref graph, i); } } }#endregion#endregion
#region prim算法获取最小生成树/// <summary>/// prim算法获取最小生成树/// </summary>/// <param name="graph"></param> public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum) {//已访问过的标志 int used = 0;
//非邻接顶点标志 int noadj = -1;
//定义一个输出总权值的变量 sum = 0;
//临时数组，用于保存邻接点的权值 int[] weight = new int[graph.vertexNum];
//临时数组，用于保存顶点信息 int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum];
//取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中 for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++) {//保存于邻接点之间的权值 weight[i] = graph.edges[0, i];
//等于0则说明V1与该邻接点没有边 if (weight[i] == short.MaxValue) tempvertex[i] = noadj;else tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]); }
//从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合 var index = tempvertex[0] = used;var min = weight[0] = short.MaxValue;
//在V的邻接点中找权值最小的节点 for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++) { index = i; min = short.MaxValue;
for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++) {//用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点 if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0) { min = weight[j]; index = j; } }//累加权值 sum += min;
Console.Write("({0},{1}) ", tempvertex[index], graph.vertex[index]);
//将取得的最小节点标识为已访问 weight[index] = short.MaxValue; tempvertex[index] = 0;
//从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++) {//已当前节点为出发点，重新选择最小边 if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used) { weight[j] = graph.edges[index, j];
//这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边 tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]); } } } }#endregion
#region dijkstra求出最短路径/// <summary>/// dijkstra求出最短路径/// </summary>/// <param name="g"></param> public void Dijkstra(MatrixGraph g) {int[] weight = new int[g.vertexNum];
int[] path = new int[g.vertexNum];
int[] tempvertex = new int[g.vertexNum];
Console.WriteLine("\n请输入源点的编号：");
//让用户输入要遍历的起始点 int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1;
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) {//初始赋权值 weight[i] = g.edges[vertex, i];
if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0) path[i] = vertex;
tempvertex[i] = 0; }
tempvertex[vertex] = 1; weight[vertex] = 0;
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) {int min = short.MaxValue;
int index = vertex;
for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++) {//顶点的权值中找出最小的 if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min) { min = weight[j]; index = j; } }
tempvertex[index] = 1;
//以当前的index作为中间点，找出最小的权值 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++) {if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j]) { weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j]; path[j] = index; } } }
Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]);
//最后输出 for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) {if (tempvertex[i] == 1) {var index = i;
while (index != vertex) {var j = index; Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]); index = path[index]; } Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]); }else { Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]); } } }#endregion } }
算法速成系列至此就全部结束了，公司给我们的算法培训也于上周五结束，呵呵，赶一下同步。最后希望大家能对算法重视起来，
学好算法，终身收益。
转载于:https://www.cnblogs.com/KohnKong/articles/2308715.html
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