【PAT数据结构与算法题目集】旅游规划（单源最短路径，长度+路径查找）

题目

有了一张自驾旅游路线图，你会知道城市间的高速公路长度、以及该公路要收取的过路费。现在需要你写一个程序，帮助前来咨询的游客找一条出发地和目的地之间的最短路径。如果有若干条路径都是最短的，那么需要输出最便宜的一条路径。

输入格式:
输入说明：输入数据的第1行给出4个正整数N、M、S、D，其中N（2≤N≤500）是城市的个数，顺便假设城市的编号为0~(N−1)；M是高速公路的条数；S是出发地的城市编号；D是目的地的城市编号。随后的M行中，每行给出一条高速公路的信息，分别是：城市1、城市2、高速公路长度、收费额，中间用空格分开，数字均为整数且不超过500。输入保证解的存在。

输出格式:
在一行里输出路径的长度和收费总额，数字间以空格分隔，输出结尾不能有多余空格。

输入样例:

输出样例:

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思路

这道题的难点在于两个结点之间的最短路径可能不止一条，这时需要将所有的最短路径记录下来，并从中选取花费最少的最短路径。这题的关键有两个：

1. 对dijkstra算法的修改
因为可能有不止一条最短路径，每个结点的最短路径前驱结点也可能不止一个，因此需要对传统的dijkstra算法进行修改：
（1）用个vector类型的parent来存储某个结点的前驱结点集合， p a r e n t [ i ] parent[i] parent[i] 存储了i的最短路径前驱结点集合；
（2）边的松弛需要做调整：假设源点为S，从源点S到结点u的最短路径已经确定后，在对一条边(u, w)进行松弛时，将从S到u之间的最短路径长度加上从结点u到结点w之间的距离，与当前的从S到w的最短路径估计进行比较：
1）如果前者更小，则将后者更新为前者，清空 p a r e n t [ w ] parent[w] parent[w]，并将结点u加入 p a r e n t [ w ] parent[w] parent[w]。
2）如果两者相等，则将结点u加入 p a r e n t [ w ] parent[w] parent[w]。
该过程伪代码如下：

// 对边(u, w)进行松弛
// sw[k]表示从源点S到结点k的最短路径估计
//matrix[i][j]表示图中从结点i到结点j的距离
//vector<int>parent, parent[i]表示结点i的最短路径前驱结点集合void rexlax(int u, int w) {if(sw[w] > sw[u] + matrix[u][w]) {sw[w] = sw[u] + matrix[u][w];parent[w].clear();parent[w].push_back(u);}else if(sw[w] == sw[u] + matrix[u][w]) {parent[w].push_back(u);}
}

2. 最短路径路径查找
为了找出花费最少的最短路径，所以要将每条最短路径找出来，这里可以用递归，其伪代码如下：

// s是源点，i是当前的结点
//parent[i]存储了结点i的最短路径前驱结点集合
//用vector<int>temp存储当前找出的这条最短路径上的每条边的长度
//mini_cost目前得到的最小花费，初始值为无穷大
//pay[i][j]表示城市i和城市j之间的收费
void cost(int i, int s) {if(i == s) {ans = temp中的每条边长度之和;if(ans < mini_cost) {mini_cost = ans;}}else {for(j=0; j<parent[i].size(); j++) {temp.push_back(pay[i][parent[i][j]);cost(parent[i][j], s);temp.pop_back();}}
}

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string>
#include<string.h>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;int graph[505][505];
int path[505][505];
int tip[505];
int shortest[505];
vector<int>parent[505];
vector<int>temp;
int paths;#define Biggest 1000void cost(int i, int s) {int j, k, a, b;if(i == s) {k = 0;for(j=0; j<temp.size(); j++) {k = k + temp[j];}if(k < paths) {paths = k;}}else {for(j=0; j<parent[i].size(); j++) {temp.push_back(path[i][parent[i][j]]);cost(parent[i][j], s);temp.pop_back();}}
}void dijkstra(int s, int d, int n) {int i, j, k, this_node;memset(tip, 0, sizeof(tip));j = Biggest;shortest[s] = 0;parent[s].push_back(s);for(k=0; k<n; k++) {j = Biggest;for(i=0; i<n; i++) {if(tip[i] ==0 && j > shortest[i]) {j = shortest[i];this_node = i;}}tip[this_node] = 1;if(this_node == d) {break;}for(i=0; i<n; i++) {if(tip[i] == 0) {if(shortest[i] > shortest[this_node] + graph[this_node][i]) {shortest[i] = shortest[this_node] + graph[this_node][i];parent[i].clear();parent[i].push_back(this_node);}else if(shortest[i] == shortest[this_node] + graph[this_node][i]) {shortest[i] = shortest[this_node] + graph[this_node][i];parent[i].push_back(this_node);}}}}}int main() {int i, j, k, l, n, m, s, d, ans;while(~scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &d)) {for(i=0; i<n; i++) {shortest[i] = Biggest;parent[i].clear();for(j=i; j<n; j++) {if(i == j) {graph[i][j] = 0;}else {graph[i][j] = graph[j][i] = Biggest;}}}while(m--) {scanf("%d %d %d %d", &i, &j, &k, &l);graph[i][j] = graph[j][i] = k;path[i][j] = path[j][i] = l;}dijkstra(s, d, n);i = d;ans = 0;while(i != s) {ans = ans + graph[i][parent[i][0]];i = parent[i][0];}temp.clear();paths = 300000;cost(d, s);cout<<ans<<" "<<paths<<endl;}return 0;
}