图论基础

简介

边描述两节点的关系，上图为无向图。图可以通过邻接矩阵来表示，若节点1到节点2之间存在边，那么邻接矩阵的第一行的第二列为1，第二行的第一列也为1。因为无向图的表示应该是双向的。

图的性质

度 d ( v i ) d(v_i) d(vi)：与节点 v i v_i vi相连的边的数量

节点的邻域

邻域 N ( v i ) N(v_i) N(vi)：与节点 v i v_i vi相连的节点的集合

途径Walk

途径是节点和边交替的序列，从一个节点开始，以一个节点结束，其中每条边与紧邻的节点相连。
途径的长度：途径中包含的边的数量
两种特殊的途径：
trail迹：边各不相同的途径
path路：节点各不相同的途径

连通图

给定一个图，如果图中的任意两个节点之间都至少存在一条路，则这个图是一个连通图。
最短路：给定连通图中的任意两点，连接着两点的长度最小的路（经过的边个数最少）被称为这两个点之间的最短路。最短路的长度被称为两点之间的距离。

图的直径：图中最远的两点间的距离（最长的最短路的边的个数？）

节点中心性

节点的中心行用来衡量节点在图上的重要程度
将每个节点映射到一个标量，那么每个节点对应一个分数。这个分数就可以用来衡量节点在图中的重要性。

度中心性
利用节点的度来衡量节点的中心性，度越高就认为其更重要，但是比如在社将网络中，你有很多粉丝但都是僵尸粉，相比粉丝没有那么多，但都是优质粉丝的用户来说，你就没有那么重要。因此，单纯度中心性不能很好的衡量节点中心性。
c d ( v i ) = d ( v i ) = ∑ j = 1 N A i , j c_{d}\left(v_{i}\right)=d\left(v_{i}\right)=\sum_{j=1}^{N} \mathbf{A}_{i, j} cd(vi)=d(vi)=∑j=1NAi,j

特征向量中心性
衡量节点的中心性同时考虑邻居节点的中心性
c e ( v i ) = 1 λ ∑ j = 1 N A i , j ⋅ c e ( v j ) c_{e}\left(v_{i}\right)=\frac{1}{\lambda} \sum_{j=1}^{N} \mathbf{A}_{i, j} \cdot c_{e}\left(v_{j}\right) ce(vi)=λ1∑j=1NAi,j⋅ce(vj) --> λ ⋅ c e = A ⋅ c e \lambda \cdot \mathbf{c}_{e}=\mathbf{A} \cdot \mathbf{c}_{e} λ⋅ce=A⋅ce

Katz中心性
Katz是特征向量中心性的一个变种，beta其实是针对节点i自身的一个重要性
c k ( v i ) = α ∑ j = 1 N A i , j c k ( v j ) + β c_{k}\left(v_{i}\right)=\alpha \sum_{j=1}^{N} \mathbf{A}_{i, j} c_{k}\left(v_{j}\right)+\beta ck(vi)=α∑j=1NAi,jck(vj)+β

c k = ( I − α ⋅ A ) − 1 β \mathbf{c}_{k}=(\mathbf{I}-\alpha \cdot \mathbf{A})^{-1} \boldsymbol{\beta} ck=(I−α⋅A)−1β

0 < α < 1 λ 0 < \alpha < \frac{1}{\lambda} 0<α<λ1

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图深度学习--图论基础

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