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第二章数据结构与算法

2.1 算法
- 2.1.1算法的基本概念
- 2.1.2算法设计的基本方法
- 2.1.3算法复杂度
- - 2.1.3.1 时间复杂度
  - 2.1.3.2 空间复杂度
2.2 数据结构的基本概念
- 2.2.1是什么
- - 2.2.1.1数据的逻辑结构
  - 2.2.1.2数据的存储结构
- 2.2.2 数据结构的图形表示
- 2.2.3 线性结构与非线性结构
2.3 线性表及其顺序存储结构
- 2.3.1 线性表的基本概念
- 2.3.2 线性表的顺序存储结构
- 2.3.3顺序表的插入运算
- 2.3.4 顺序表的删除运算
2.4 栈和队列
- 2.4.1 栈及其基本运算
- - 2.4.1.1 什么是栈
  - 2.4.1.2 栈的顺序存储及其运算
- 2.4.2 队列及其基本运算
2.5 线性链表
- 2.5.1 线性链表的基本概念
- - （1）线性表的线性存储结构缺点
  - - （2）线性表的链式存储结构
  - 1. 线性链表
  - 2. 带链的栈
  - 3. 带链的队列
- 2.5.2 线性链表的基本运算
- 2.5.3 循环链表
2.6 树与二叉树
- 2.6.1 树的基本概念
- 2.6.2 二叉树及其基本性质
- - 1.什么是二叉树
  - 2.二叉树的基本性质
  - 3.满二叉树与完全二叉树
- 2.6.3 二叉树的存储结构
- 2.6.4 二叉树的遍历
- - 遍历方法：
2.7 查找技术
- 2.7.1 顺序查找
- 2.7.2 二分法查找
2.8 排序技术
- 2.8.1 交换类排序法
- - 1.冒泡排序法
  - 2.快速排序法
- 2.8.2 插入类排序法
- 1. 简单插入排序法
- 2.希尔排序法
- 2.8.3 选择类排序法
- - 1.简单选择排序法
  - 2.堆排序法

2.1 算法

2.1.1算法的基本概念

定义：算法是指对解题方案的准确而完整的描述
特征：

（1）可行性

算法的每一个步骤必须能够实现
算法的执行要能够达到预期的目的

（2）确定性

步骤有明确定义

（3）有穷性

有限步骤

（4）用有足够的情报

2.1.2算法设计的基本方法

（1）列举法

（2）归纳法
通过列举少量特殊情况，经过分析，找出一般的关系

（3）递推法
从已知的条件出发逐次推出所要求的各中间结果和最后结果

（4）递归法
将问题逐层分解成简单问题，解决简单问题后沿着分解逆过程逐步综合

递归调用
自己调用自己
递归分类
直接递归、间接递归

（5）减半递推技术
（类似于闭区间套的构造，二分区间）

（6）回溯法
通过尝试可行的解法，若进行到不可解，回退换别的路线

2.1.3算法复杂度

2.1.3.1 时间复杂度

与基本运行的次数、问题规模有关

分析算法工作量
（1）平均性态
各种特定输入下的基本运算的加权平均

（2）最坏情况复杂性
在规模为n时，算法所执行的基本运算的最大次数

2.1.3.2 空间复杂度

指执行这个算法所需要的内存空间
（具体包括：算法程序、输入初始数据、算法执行过程中所需要占用的空间）

2.2 数据结构的基本概念

2.2.1是什么

定义：指互相有关联的数据元素的集合
例：矩阵、向量

2.2.1.1数据的逻辑结构

（1）表示数据的逻辑信息
（2）表示数据的前后件关系

2.2.1.2数据的存储结构

数据的逻辑结构在计算机中的表示

2.2.2 数据结构的图形表示

根结点：没有前件的结点
终端结点：没有后件的结点
内部节点：不是以上两种的结点

2.2.3 线性结构与非线性结构

空数据结构
没有数据元素
非空数据结构
1.线性结构
（1）有且只有一个根结点
（2）每一个结点自己多只有一个前件，也最多只有一个后件
2.非线性数据结构

2.3 线性表及其顺序存储结构

2.3.1 线性表的基本概念

由一组数据组成
矩阵也是一个线性表
（一行或一列向量）简单线性表
由若干数据项组成的数据元素–>记录
多个记录构成的线性表 -->文件
线性表中结点的个数n–> 线性表的长度n

2.3.2 线性表的顺序存储结构

线性表的顺序存储特点
（1）线性表的所有存储空间是连续的
（2）线性表中各数据是按逻辑顺序依次存放的
通常定义一个一维数组存放线性表
（一维数组通常定义的比线性表实际长度大一些，以便于对线性表进行运算）
主要的运算：

插入
删除
查找
排序
分解
合并
复制
逆转

2.3.3顺序表的插入运算

表中插入a,a后元素整体后移，列表长度增加
（插入多于储存空间–>上溢）

2.3.4 顺序表的删除运算

删除表中元素b,b后元素整体上移，列表长度减小
（线性表为空时删除–>下溢）
（b位置<1或>n时，认为不能删除，算法结束）

2.4 栈和队列

2.4.1 栈及其基本运算

2.4.1.1 什么是栈

一种特殊的线性表
基本原则

开始执行程序前，建立一个线性表，其初始状态为空
当发生调用时，将当前调用的返回点地址插入到线性表的末尾
当遇到某个子程序返回时，其返回点地址从线性表的末尾取出（即删除线性表后的一个元素）

定义
栈是限定在一端进行插入和删除的线性表
栈顶
允许插入和删除的一端
栈底
不允许插入和删除的另一端
指针top
指示栈顶的位置
指针bottom
指示栈底的位置
入栈运算
在栈中插入一个元素
退栈运算
从栈中删除一个元素

2.4.1.2 栈的顺序存储及其运算

一维数组S（1：m）为栈的顺序存储空间，（其中m为栈的最大容量）
栈底元素：S（bottom）
栈顶元素：S（top）
top=0 栈空 top=m 栈满
基本运算
（1）入栈运算
判断top是否指向最后一个元素—不为m–top+1—新元素插入top指向位置》》》否则上溢
（2）退栈运算
判断top是否=0 —不为0—栈顶元素赋给指定变量—top-1
》》》否则下溢
（3）读栈顶运算
判断top是否=0 —不为0—栈顶元素赋给指定变量
》》》否则读不到栈顶元素

2.4.2 队列及其基本运算

(1)什么是队列

定义：允许在一端插入、另一端删除的线性表
原则：初始为空、队尾等待、队头执行
“先来先服务”
尾指针rear ：指向队尾允许被插入的一端
头指针front ：指向排头允许被删除的一端
入队运算：队尾插入
退队运算：队头删除

(2)循环队列及其运算
在实际应用中，队列的顺序存储结构一般采用循环队列的形式
初始状态为空：rear=front=m
入队运算：判断循环队列是否为满—rear+1—（ rear=m+1时，置rear=1
退队运算：判断循环队列是否为空—front+1—（front=m+1时，置front= 1

队列空：s=0
队列满：s=1 且 front=rear=m

2.5 线性链表

2.5.1 线性链表的基本概念

（1）线性表的线性存储结构缺点

1.插入语删除的运算效率都很低
2.线性表的存储空间不便于扩充
3.存储空间不便于对存储空间的动态分配

（2）线性表的链式存储结构

存储结点（简称：结点） ：数据结构中的每一个数据结点对应于一个存储单元，这种存储单元叫作~
结点组成：
数据域：用于存放数据元素值
指针域：用于存放指针（指针用于指向该结点的前一个或后一个结点，即前件或后件）
tips：
1.在链式存储结构中，存储数据结构的存储空间可以不连续，各数据结点的存储顺序与数据元素的顺序可以不一致，而数据之间的逻辑关系有指针域来确定。
2.链式存储方式既可以用于表示线性结构，也可以用于表示非线性结构。
3.在用链式结构表示较复杂的非线性结构时，其指针域的个数要多一些。

1. 线性链表

头指针HEAD ：指向线性表中第一个结点的指针HEAD
HEAD=NULL或0时，称为空表
单线性链表 ：每个结点只有一个指针域（右指针）
双向链表 ：每个结点有两个指针
左指针 ：指向前件
右指针 ：指向后件

2. 带链的栈

应用：用来收集计算机存储空间中所有空闲的存储结点，这种带链的栈称为可利用栈。

运算：栈的初始化、入栈、退栈、读栈顶元素

3. 带链的队列

运算：队的初始化、入队、退队

2.5.2 线性链表的基本运算

插入
从可利用栈取得一个结点，链接插入前后的结点，实现内存动态分配、不会上溢
删除
将数据删除，结点放回可利用栈，不需要移动表的数据元素，只需要改变被删除元素所在结点的前一个结点的指针域即可。
合并
分解
逆转
复制
排序
查找

2.5.3 循环链表

为了克服空表和对第一个节点需要单独考虑的问题（空表和非空表不统一）
循环链表的特点：
（1）增加表头结点，其数据域为任意或者根据需要来设置，指针域指向线性表的第一个元素的结点。头指针指向表头结点。
（2）最后一个结点的数据域不是空，而是指向表头结点
循环链表的优点：
（1）只要指出表中任何一个结点的位置，就可以从它出发访问到表中其他所有的结点。
（2）由于表头结点的存在，在任何情况下，循环链表至少有一个结点存在，从而使空表与非空表的运算统一。

2.6 树与二叉树

2.6.1 树的基本概念

树是一种简单非线性结构（层次结构）
父结点：每一个结点只有一个前件，这个前件是它的~
根结点：没有前件的结点
子结点：每一个结点有多个后件，这个后件是它的~
叶子结点：没有后件的结点
度：一个结点拥有的后件个数，称为该结点的~
深度：树的最大层次数

2.6.2 二叉树及其基本性质

1.什么是二叉树

（1）非空二叉树只有一个根结点
（2）每一个结点最多有两棵子树，分别称为该数的左子树与右子树。

2.二叉树的基本性质

（1）在二叉树的第k层上，最多有 2 k − 1 ( k > = 1 ) 2^{k-1} (k>=1) 2k−1(k>=1)个结点
（2）深度为m的二叉树最多有 2 m − 1 2^m-1 2m−1 个结点
（3）在任意一颗二叉树中，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多1个

记 n 0 , n 1 , n 2 n_0,n_1,n_2 n0,n1,n2 分别为叶子结点、度为1的结点、度为2的结点个数， m 为分支个数，则满足以下关系：
n = n 0 + n 1 + n 2 n=n_0+n_1+n_2 n=n0+n1+n2 ，
n = m + 1 n=m+1 n=m+1,
n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1

（4）具有n个结点的二叉树，其深度至少为 [ l o g 2 n ] + 1 [log_2 n]+1 [log2n]+1,其中 [ l o g 2 n ] [log_2n] [log2n] 表示取 l o g 2 n log_2n log2n的整数部分

3.满二叉树与完全二叉树

1）满二叉树
每一层都是满的
2）完全二叉树
只有最后一层只缺少右边的若干结点，其他均满
除上述4条性质外，还有性质：
（5）具有n个结点的完全二叉树的深度为 [ l o g 2 n ] + 1 [log_2 n]+1 [log2n]+1
（6）设完全二叉树共有n个结点，从根结点开始标号k=1,2,3……，则有以下结论：
k=1,根结点
2k<=n, 左结点
2k+1<=n,右结点

2.6.3 二叉树的存储结构

在计算机中，二叉树通常采用链式结构储存
两个后件

2.6.4 二叉树的遍历

二叉树的遍历指不重复的访问二叉树中所有结点。

遍历方法：

1.前序遍历
优先级：根-左-右 FCADBEGHP
2.中序遍历
优先级：左-根-右 ACDBFEHGP
3.后序遍历
优先级：左-右-根 ADBCHPGEF

2.7 查找技术

2.7.1 顺序查找

线性表中查找指定的元素，最坏比较n次

只能用顺序查找的情况：
（1）线性表为无序表
（2）有序线性表采用链式存储结构

2.7.2 二分法查找

只适用于顺序存储的有序表
查找顺序：根-左-右

对于长度为n的有序线性表，在最坏情况下，只需要比较 l o g 2 n log_2n log2n次

2.8 排序技术

定义：排序指将一个无序序列整理成按值非递减顺序排列的有序序列

2.8.1 交换类排序法

1.冒泡排序法

相邻元素比较，元素值小的往前交换，
最坏比较 n(n-1)/2 次

2.快速排序法

分割子表，比元素小的移到前面，大的移到后面
最坏比较 n(n-1)/2 次

2.8.2 插入类排序法

1. 简单插入排序法

将无序序列中个元素依次插入到已经有序的线性表中
最坏比较 n(n-1)/2 次

2.希尔排序法

将整个无序序列分割成若干小的子序列分别进行插入排序

最坏比较 O（ n 1.5 n^{1.5} n1.5) 次

2.8.3 选择类排序法

1.简单选择排序法

扫描所有的元素，选出最小的元素将它交换到表的最前面
最大比较次数 n(n-1)/2 次

2.堆排序法

堆的定义：
定义1： { h i > = h 2 i h i > = h 2 i + 1 \begin{cases}h_i>=h_{2i}\\h_i>=h_{2i+1} \end{cases} {hi>=h2ihi>=h2i+1
定义2： { h i < = h 2 i h i < = h 2 i + 1 \begin{cases}h_i<=h_{2i}\\h_i<=h_{2i+1} \end{cases} {hi<=h2ihi<=h2i+1

即，父结点值>=子结点值
最大比较次数 O ( n l o g 2 n ) O(n log_2n) O(nlog2n) 次

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