简介

点（point）是n维空间（游戏中主要使用二维和三维空间）中的一个位置，它没有大小、宽度这类概念。
矢量（vector，也被称为向量）是指n维空间中一种包含了模（magnitude）和方向（direction）的有向线段。速度（velocity）就是一种典型的矢量。
- 矢量的模指的是这个矢量的长度。一个矢量的长度可以是任意的非负数。
- 矢量的方向则描述了这个矢量在空间中指向。
- 矢量的头（head）指的是它的箭头所在的端点出，而尾（tail）指的是另一个端点。
- 只要矢量的模和方向保持不变，无论在哪里，都是同一个矢量。
标量（scalar）只有模没有方向。例如距离（distance）就是一种标量。

　　任何一个点都可以表示成一个从原点出发的矢量。

矢量的运算

矢量和标量的乘法/除法

　　只需要把矢量的每个分量和标量相乘即可。

kv=(kvx,kvy,kvz)

kv=(kv_x, kv_y,kv_z)

　　一个矢量也可以被一个非零的标量除。这等同于和这个标量的倒数相乘。

vk=(x,y,z)k=1k(x,y,z)=(xk,yk,zk),k≠0

\dfrac{v}{k}=\dfrac{(x,y,z)}{k}=\dfrac{1}{k}(x,y,z)=\left(\dfrac{x}{k},\dfrac{y}{k},\dfrac{z}{k}\right),k\neq0

　　对于乘法来说，矢量和标量的位置可以互换的。但对于除法，只能是矢量被标量除，而不能是标量被矢量除，这是没有意义的。
　　当k<0k\lt0时，矢量的方向也会取反。

矢量的加法和减法

　　两个矢量进行相加或相减，其结果是一个相同维度的新矢量。

a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)

a+b=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)

a−b=(ax−bx,ay−by,az−bz)

a-b=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)

　　二维矢量的加法和减法，如图：

　　在图形学中，矢量通常用于描述位置偏移（即位移）。因此可以用矢量的加法或减法来计算一点相对于另一点的位移。
　　如果想计算b点相对于a点的位移，就可以通过把b和a相减得到。

矢量的模

　　三维矢量计算公式如下：

∣v∣=v2x+v2y+v2z−−−−−−−−−−√

\lvert v\rvert=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}

　　其他维度同理可得，对每个分量的平方相加后再开根号得到。

单位矢量

　　单位矢量指的是模为1的矢量，也称为被归一化的矢量（normalized vector）。
　　对任何非零矢量转换成单位矢量的过程被称为归一化（normalized）。
　　对矢量的归一化，可以使用该矢量除以该矢量的模得到，如下：

v^=v∣v∣,v是非零矢量

\hat v=\dfrac{v}{\lvert v\rvert},v是非零矢量

零矢量

　　零矢量即矢量的每个分量值都是0，如v=(0,0,0)v=(0,0,0)是不可被归一化的。这是因为做除法运算时分母不能为0。

矢量的点积

　　点积（dot product）也称为内积（inner product）。
　　点积的名称来源于这个运算符号：a⋅ba \cdot b。中间的这个圆点符号是不可以省略的。
　　
　　公式一：两个三维矢量的点积是把两个矢量对应的分量相乘后再取和，最后是一个标量。

a⋅b=(ax,ay,az)⋅(bx,by,bz)=axbx+ayby+azbz

\begin{align}a\cdot b &=(a_x,a_y,a_z)\cdot (b_x,b_y,b_z) \\ &=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\end{align}

　　矢量的点积满足交换律：a⋅b=b⋅aa\cdot b=b\cdot a
　　点积的几何意义很重要，其中一个就是投影（projection）。
　　有一个单位矢量a^\hat a和另一个长度不限的矢量b。我们希望得到b在平行于a^\hat a的一条直线上的投影。那么，我们可以使用点积a^⋅b\hat a\cdot b来得到b在a^\hat a方向上的有符号的投影。
　　当投影的值小于0时，夹角大于90∘90^\circ。等于0时，夹角为90∘90^\circ，相互垂直。大于0时，夹角小于90∘90^\circ。

　　性质一：点积可结合标量乘法。

(ka)⋅b=a⋅(kb)=k(a⋅b)

(ka)\cdot b=a\cdot (kb)=k(a\cdot b)

　　性质二：点积可结合矢量加法和减法。

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c

a\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c

　　性质三：一个矢量和本身进行点积的结果，是该矢量的模的平方。

v⋅v=vxvx+vyvy+vzvz=∣v∣2

v\cdot v=v_xv_x+v_yv_y+v_zv_z=\lvert v\rvert^2

　　公式二：

a⋅b=(∣a∣a^)⋅(∣b∣b^)=∣a∣∣b∣(a^⋅b^)=∣a∣∣b∣cosθ

\begin{align}a\cdot b &= (\lvert a\rvert \hat a)\cdot (\lvert b\rvert \hat b) \\ &= \lvert a\rvert \lvert b\rvert (\hat a \cdot \hat b) \\ &= \lvert a\rvert\lvert b\rvert cos\theta\end{align}

　　推理得：两个单位矢量的点积等于它们之间的夹角的余弦值。当夹角小于90∘90^\circ时，cosθ>0cos\theta>0；当夹角等于90∘90^\circ时，cosθ=0cos\theta=0；当夹角大于90∘90^\circ时，cosθ<0cos\theta。

a^⋅b^=直角边斜边=cosθ

\hat a \cdot \hat b=\dfrac{直角边}{斜边}=cos\theta

a⋅b=(∣a∣a^)⋅(∣b∣b^)=∣a∣∣b∣(a^⋅b^)=∣a∣∣b∣cosθ

\begin{align}a\cdot b &= (\lvert a\rvert \hat a)\cdot (\lvert b\rvert \hat b) \\ &= \lvert a\rvert \lvert b\rvert (\hat a \cdot \hat b) \\ &= \lvert a\rvert\lvert b\rvert cos\theta\end{align}

　　利用这两个公式，还可以求得两个向量之间的夹角（在0~180°）

θ=arcos(a^⋅b^)，假设a^和b^是单位矢量。

\theta=arcos(\hat a \cdot \hat b)，假设\hat a和\hat b是单位矢量。

矢量的叉积

　　叉积（cross product），也被称为外积（outer product）。矢量叉积的结果仍然是一个矢量。
　　和点积类型，叉积的名称来源于它的符号：a×ba \times b。同样这个符号是不能省略的。两个矢量的叉积可用如下公式计算：

a×b=(ax,ay,az)×(bx,by,bz)=(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)

\begin{align} a \times b&=(a_x,a_y,a_z)\times (b_x,b_y,b_z)\\&=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)\end{align}

　　叉积不满足交换律，即a×b≠a×ba\times b\neq a\times b。
　　叉积满足反交换律，即a×b≠−(a×b)a\times b\neq -(a\times b)。
　　叉积不满足结合律，即(a×b)×c≠a×(b×c)(a\times b)\times c \neq a \times (b \times c)。
　　
　　a×ba\times b的长度等于a和b的模的乘积再乘以它们之间夹角的正弦值。公式如下：

∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ

\lvert a\times b\rvert=\lvert a\rvert\lvert b\rvert sin\theta

　　用a和b构建一个平行四边形，其面积可以使用∣b∣h\lvert b\rvert h来得到，即底乘以高。而hh又可以使用∣a∣\lvert a\rvert和夹角θ\theta来得到，即

A=∣b∣h=∣b∣(∣a∣sinθ)=∣a∣∣b∣sinθ=∣a×b∣

\begin{align}A&=\lvert b\rvert h\\&=\lvert b\rvert (\lvert a\rvert sin \theta)\\&=\lvert a\rvert \lvert b\rvert sin\theta\\&=\lvert a \times b\rvert\end{align}

　　如果a和b平行（方向可能相同可能相反），可以认为构建出来的平行四边形的面积为0，那么a×b=0a\times b=0，这里得到的是向量0，而不是标量0。

　　根据左右手坐标系的不同，叉积求得的垂线的方向也不同，如下：

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