数学建模系列-预测模型（六）---微分方程模型

书接上回，我们在这里讨论一下微分方程模型，也是预测模型的最后一节，以后有想到的再补上、（）拟合优度对于非线性情况已经没有意义了。。

分类
微分方程模型属于白盒模型，将物理或者其他自然科学的关系与预测目标结合出一个模型。但微分方程一般是对变化趋势建模，即不可以用直接量化的物理量来衡量（主要也是为了增加难度，纯一阶物理模型过于无聊了）

微分方程模型有两种情况：

1.常微分（通常都时间）

2.偏微分（不仅仅是对一个变量的导数，而是多个变量）

1.单变量：常微分方程，2.多变量：偏微分方程，因此，微分方程指的是又有函数的导数的方程。

通解：含有任意常数项，特解：不含任意常数相

条件：初始条件、边值条件

一、常微分情况

建立：找到物理关系直接建立，没有任何诀窍。

例子：火箭分级。由于火箭无法做到无限细分燃料舱做到一边释放燃料一边丢弃燃料舱，因此做成了多级函数，可以用常微分方程解决。

结论：飞船的最大速度v=3uln(k+1/lambda k+1),燃料喷射速度，总重量和负载之比=（k+1）^3，燃料的重量占燃料舱的重量比，3表示3级火箭。

解法
1.可分离变量：将两个变量分别撑到左右，同时积分

2.不可分离变量：desolve，或者直接用ode45求解。
1,dsolve(),diff(x,次数)。simplify求解
2，初值问题。[t,y]=ode45(f(x),tspan, y_0)
3.边值问题。bvp4c(),P122也可odefun来解决

clc clear
syms y(x）%符号变量
dy =diff(y）；dx =diff(y) %定义一阶导数和二阶导数，用于初值或边值条件的赋值
y=dsolve(diff(y,3) -diff(y,2) ==x,y(1) = -8 , dy(1) = =7 ，d2y(2) = =4)
y = simplify(y）%把计算结果化简

clc clear
syrns x( t) y( t ) z ( t）%定义符号变量
X=[x ;y ; z); A=[l,0,0 ;2,l, -2 ;3,2 ,l] ;B=[0 ;0; exp(t ) * COS(2 * t )];
X0= [ 0 ; 1;1 ]%初值条件
X=dsolve(diff(X) = =A*X+B,X(0) = =X ）%求符号解
X = simplfy([X.x;X.y;X.z］）%显示解的各个分量
pretty(X ）%分数线居中的显示方式

clc, clear
yx = @ (x 'y) - 2 * y + 2 * x A 2 + 2 * x ;
[ x,y] =ode4S(yx, [0,0.5] ,1)
sol =ode45(yx, [0 ,0.5] ,1)
y2 = deval( sol, x)
check = [ y ,y2 ’ ]

最后要进行结果分析

人口模型
1.Marthus模型
就是一个指数增长模型。未考虑环境的最大量。

2.阻滞增长模型
首先设置一个人口最大量a，根据a的大小不断地减少
原组织增长模型，x=xm/1+(1-xm/x0)e^(-r(t-t_0))，xm是最大值，x0是最小值

3.改进Marthus模型
引入参数b，用b的倒数来代表目前的工业发展水平。a/b作为上限、、
马尔萨斯模型改进：x=ax_0/bx_0+(a-bx_0)e^(-a(t-t_0)),最终稳定在a/b，a是环境最大人数，b是工业化程度，随工业化程度提高而减小

改进方案：马尔萨斯模型在某些稳定情况（五战乱，五达到科技上线。）下较好，我们的想法使用改进马尔萨斯模型加入科技、战争点数来进行训练，让b成为浮动值，（a是b的函数所以不用考虑）

种群模型
种群中的预测量，可以直接用组织增长模型，不用考虑工业发展（因为动物没有发展）、
最终最好要加一个稳定性判定

二、偏微分情况
建模不再赘述，解决方案如下所示？

1。根据模型决定
2.直接用后向差分求解，注意可以用追赶发快速解决掉三对角矩阵。

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