珂朵莉树

（珂学）

珂朵莉树（或者老司机树）起源于CF896C。
由于之前做到每一组数据都要另外开数据结构，所以现在一些东西就会写为class包装

前置知识点

STL中set的使用（list也行，但是效率差点）
- set的排序规则
- insert
- erase
- lower_bownd
暴力

使用

珂朵莉树通过直接对区间进行暴力维护。不同于线段树或者树状数组对于区间的维护，珂朵莉树相当于直接把区间拆出来进行修改。

下面的代码基于CF896C。

定义

珂朵莉树的定义如下：

// using ll = long long;
class ODT {private:class Node {int l, r;mutable ll val;Node(int l = 0, int r = 0, ll val = 0) : l(l), r(r), val(val) {}bool operator < (const Node &a) const {return l < a.l;}};set<Node>tr;public:void insert(int l, int r, int val);auto split(int pos);void assign(int l, int r, ll val);auto work(int l, int r, ...);
};

珂朵莉树是对区间的暴力维护，需要重载小于号（或者写个比较函数，只要像上面那个一样就行）（Node是想不到名字就起的，也可以改为Segment）。而后面的set就是珂朵莉树的核心。

关于mutable关键字

mutable意为可变的，也就是说，加上这个关键字可以直接对里面的val进行修改，而无需清除再插入

下面还有几个操作。

insert

其实这个操作仅仅是把区间插入set里面（因为没有的区间要插入），不过因为用class包装所以需要多一个insert。

void ODT::insert(int l, int r, int val) {tr.insert(Node(l, r, val));
}

split

珂朵莉树的第一个核心操作。

这个操作就是直接暴力的把一个区间（根据区间左端点）拆出来。

auto ODT::split(int pos) {auto it = tr.lower_bownd(Node(pos));// 找到一个有效的区间，而且这个区间左端点刚好是位置if (it != tr.end() && it->l == pos) {return it;}// 到这里，说明找的区间位置偏右了点-- it;int l = it->l, r = it->r;ll val = it->val;// 暴力分裂tr.erase(it);tr.insert(Node(l, pos - 1, val));return tr.insert(Node(pos, r, val)).first;
}

set的insert操作的first

set的insert操作中会返回一个pair。其中first为指向插入内容的迭代器。由于分裂的目的就是为了提出左端点为pos的区间，所以要返回这个玩意。

assign

这个是珂朵莉树的第二个关键操作。

这个操作就是简单暴力地，将l到r范围内的所有区间暴力删掉，然后新建一个区间l到r，值改为val。

void ODT::assign(int l, int r, ll val) {auto end = split(r + 1), begin = split(l);tr.erase(begin, end);  // 这个可以清除[begin, end)范围内的区间tr.insert(Node(l, r, val));
}

work

这个操作其实就是一些附加操作。大致都是直接暴力找到区间进行操作。所以会有大致的模板。

auto ODT::work(int l, int r, ...) {auto itr = split(r + 1), itl = split(l);for (; itl != itr; ++ itl) {// work}
}

总结

珂朵莉树就是这样一个暴力的操作过程。当然，如果set里面的区间非常多，就退化成了完全的暴力。所以，在数据随机的情况下，珂朵莉树的效果很好，反之也可以很简单的构造出数据卡爆珂朵莉树。

因此，珂朵莉树可以用在：区间修改特定一个值（还有骗分）。

例题

CF896C

相比于上面的模板，起源题多了三个操作，也就是work的拓展。

这个暴力实在是太优美了

下面的代码也相当于模板了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
#define all(x) std::begin(x), std::end(x)
inline ll mul(ll a, ll b, ll p) {return static_cast<__int128_t>(a) * b % p;
}
inline ll power(ll a, ll i, ll p) {ll res = 1;while (i) {if (i & 1)res = mul(res, a, p);a = mul(a, a, p);i >>= 1;}return res;
}
class ODT {private:struct Node {int l, r;mutable ll val;Node(int l = 0, int r = 0, ll val = 0) : l(l), r(r), val(val) {}bool operator < (const Node &a) const {return l < a.l;}};set<Node>odt;public:void insert(int l, int r, ll val) {odt.insert(Node(l, r, val));}auto split(int pos) {auto it = odt.lower_bound(Node(pos));if (it != odt.end() && it->l == pos)return it;-- it;int l = it->l, r = it->r;ll val = it->val;odt.erase(it);odt.insert(Node(l, pos - 1, val));return odt.insert(Node(pos, r, val)).first;}void assign(int l, int r, ll val) {auto end = split(r + 1), begin = split(l);odt.erase(begin, end);odt.insert(Node(l, r, val));}void add(int l, int r, ll k) {  // 暴力拿出区间求和auto itr = split(r + 1), itl = split(l);for (; itl != itr; ++ itl) {itl->val += k;}}ll rank(int l, int r, int kth) {  // 暴力排序，一个一个数vector<pair<ll, int>>v;auto itr = split(r + 1), itl = split(l);for (; itl != itr; ++ itl) {v.push_back({itl->val, itl->r - itl->l + 1});}sort(all(v), [](const pair<ll, int>&a, const pair<ll, int>&b) {return a.first != b.first ? a.first < b.first : a.second < b.second;});for (const auto &[val, cnt] : v) {kth -= cnt;if (kth <= 0) {return val;}}return -1;}ll sum(int l, int r, ll k, ll p) {  // 暴力拿出区间，一个一个计算ll res = 0;auto itr = split(r + 1), itl = split(l);for (; itl != itr; ++ itl) {res = (res + mul(power(itl->val, k, p), itl->r - itl->l + 1, p)) % p;}return res;}
};

P2572 [SCOI2010] 序列操作

这道题卡珂朵莉树，不过可以试着用珂朵莉树做做。

和上面的题相比，多了区间取反、计算1的个数和计算最长1的长度。暴力就可以有30分，然后其他都是TLE。

class ODT {private:struct Node {int l, r;mutable int val;Node(int l = 0, int r = 0, int val = 0) : l(l), r(r), val(val) {}bool operator < (const Node &a) const {return l < a.l;}};set<Node>tr;public:void insert(int l, int r, int val) {tr.insert(Node(l, r, val));}auto split(int pos) {auto it = tr.lower_bound(Node(pos));if (it != tr.end() && it->l == pos) {return it;}-- it;int l = it->l, r = it->r, val = it->val;tr.erase(it);tr.insert(Node(l, pos - 1, val));return tr.insert(Node(pos, r, val)).first;}void assign(int l, int r, int val) {auto end = split(r + 1), begin = split(l);tr.erase(begin, end);tr.insert(Node(l, r, val));}void XOR(int l, int r) {auto itr = split(r + 1), itl = split(l);for (; itl != itr; ++ itl) {itl->val ^= 1;}}int sum(int l, int r) {int ans = 0;auto itr = split(r + 1), itl = split(l);for (; itl != itr; ++ itl) {if (itl->val) {ans += itl->r - itl->l + 1;}}return ans;}int maxlen(int l, int r) {int ans = 0;auto itr = split(r + 1), itl = split(l);vector<pair<int, int>>v;for (; itl != itr; ++ itl) {if (v.empty() || v.back().first != itl->val) {v.push_back({itl->val, itl->r - itl->l + 1});} else {v.back().second += itl->r - itl->l + 1;                    }if (!v.empty() && v.back().first) {ans = max(ans, v.back().second);}}return ans;}
};

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