背景

今天复习数值分析在对矩阵进行Doolittle分解时发现了一些有意思的事情，请容我慢慢道来…

正文

先介绍矩阵得三角分解即Doolittle分解定理：
定理：A∈Rn×nA\in R^{n\times n}A∈Rn×n，若detA≠0,Δi≠0(i=1,2,…,n−1)\,detA\ne0,\Delta_i\ne0(i=1,2,\dots,n-1)detA=0,Δi=0(i=1,2,…,n−1)，则存在唯一的单位下三角矩阵L\,L\,L和非奇异的上三角矩阵U\,U\,U，使A=LUA = L\,UA=LU在本定理已知条件下可以进行 n - 1 步消去，得到一个非奇异上三角形矩阵，不妨记该矩阵为U\,U\,U，则有Ln−1−1Ln−2−1…L2−1L1−1=UL_{n-1}^{-1}L_{n-2}^{-1}\dots L_{2}^{-1}L_{1}^{-1}=ULn−1−1Ln−2−1…L2−1L1−1=U
所以L=L1L2…Ln−1=[1l211l31l32⋱⋮⋮⋱1ln1ln2⋯ln,n−11]L=L_1L_2\dots L_{n-1}= \begin{bmatrix} 1 \\ l_{21} & 1\\ l_{31} & l_{32} & \ddots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 1\\ l_{n1} & l_{n2} & \cdots & l_{n,n-1} & 1 \end{bmatrix} L=L1L2…Ln−1=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1l21l31⋮ln11l32⋮ln2⋱⋱⋯1ln,n−11⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
其中Li=[1⋱1li+1,i1⋮⋱ln,i1]L_i= \begin{bmatrix} 1 \\ &\ddots\\ &&1 \\ &&l_{i+1,i}&1\\ &&\vdots&&\ddots\\ &&l_{n,i}& &&1 \end{bmatrix}Li=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1li+1,i⋮ln,i1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
而Li−1=[1⋱1−li+1,i1⋮⋱−ln,i1]L_i^{-1}= \begin{bmatrix} 1 \\ &\ddots\\ &&1 \\ &&-l_{i+1,i}&1\\ &&\vdots&&\ddots\\ &&-l_{n,i}& &&1 \end{bmatrix}Li−1=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1−li+1,i⋮−ln,i1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
通过观察，我们可以得到结论如下

结论

设Li,Lj∈Rn×n(0<i,j≤n∧i≠j)\,L_i,L_j\in R^{n\times n}(0<i,j\le n\wedge i\ne j)\,Li,Lj∈Rn×n(0<i,j≤n∧i=j)，且满足如下形式：
Lk=[1⋱1lk+1,k1⋮⋱ln,k1]L_k= \begin{bmatrix} 1 \\ &\ddots\\ &&1 \\ &&l_{k+1,k}&1\\ &&\vdots&&\ddots\\ &&l_{n,k}& &&1 \end{bmatrix}Lk=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1lk+1,k⋮ln,k1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
则有：

Li×Lj=Li+Lj−IL_i\times L_j = L_i+L_j-ILi×Lj=Li+Lj−I
Li−1=2I−LiL_i^{-1}=2I-L_iLi−1=2I−Li

其中I\,I\,I为单位矩阵

证明

我才懒得证呢…

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对单位下三角矩阵的意外发现

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