本文只整理和总结一下我的理解，文末列出了可供参考的更详细完整的资料。建议先看参考资料[1]（博弈论公开课）的博弈论课程，可以直接从第11讲开始看。参考链接[2]是关于演化博弈非常经典的一本书。参考链接[5]涵盖内容比较完整，关于演化博弈的各个方面都涉及到了。

概念

本文统一采用参考链接[2]的符号表示。
E(A,B)E(A,B)E(A,B)表示对手采用BBB策略而自己采用AAA的收益，简写作AAA对BBB的收益。
NE表示纳什均衡，ES表示演化稳定。

收益矩阵

（下面表格来自参考文献[6]）

	CCC	DDD
CCC	rrr	sss
DDD	ttt	ppp

	Cooperation	Defection
Cooperation	Reward	Sucker
Defection	Temptation	Punishment

其中r=E(C,C)r=E(C,C)r=E(C,C)表示双方均采用C(合作)策略的收益，p=E(D,D)p=E(D,D)p=E(D,D)表示双方均采用D(背叛)策略的收益，s=E(C,D)s=E(C,D)s=E(C,D)表示对方采用D策略而己方采用C策略的收益，t=E(D,C)t=E(D,C)t=E(D,C)表示对方采用C策略而己方采用D策略的收益。收益矩阵还有一种表示法(参考链接[1][5]使用该表示法)

	CCC	DDD
CCC	r,rr,rr,r	s,ts,ts,t
DDD	t,st,st,s	p,pp,pp,p

演化稳定

（上面表格来自参考文献[6]）下面两个定义出自参考链接[1]。
定义1(来自Maynard Smith的生物学定义)
在一个双参与人的对称博弈中，策略S^\hat{S}S^是演化稳定策略当且仅当存在一个ϵˉ>0\bar{\epsilon}>0ϵˉ>0，
(1−ϵ)E(S^,S^)+ϵE(S^,S′)>(1−ϵ)E(S′,S^)+ϵE(S′,S′)(1-\epsilon)E(\hat{S},\hat{S})+\epsilon E(\hat{S},S')> (1-\epsilon)E(S',\hat{S})+\epsilon E(S',S') (1−ϵ)E(S^,S^)+ϵE(S^,S′)>(1−ϵ)E(S′,S^)+ϵE(S′,S′)
对于任意偏离S^\hat{S}S^的策略S′S'S′都成立，且对任意ϵ<ϵˉ\epsilon<\bar{\epsilon}ϵ<ϵˉ都成立。
上面式子的意思是，1−ϵ1-\epsilon1−ϵ的概率下对S^\hat{S}S^策略采用S^\hat{S}S^策略加上ϵ\epsilonϵ的概率下对S′S'S′策略采用S^\hat{S}S^的收益严格大于。。。的收益。
定义2(经济学定义)
（上面表格来自参考文献[6]）在一个双参与人的对称博弈中，策略S^\hat{S}S^是演化稳定策略需满足下面两个条件：
条件1：(S′,S′)(S',S')(S′,S′)是(对称)纳什均衡，即E(S^,S^)≥E(S′,S^)E(\hat{S},\hat{S})\geq E(S',\hat{S})E(S^,S^)≥E(S′,S^)；
条件2：如果E(S^,S^)=E(S′,S^)E(\hat{S},\hat{S})=E(S',\hat{S})E(S^,S^)=E(S′,S^)，那么E(S^,S′)>E(S′,S′)E(\hat{S},S')>E(S',S')E(S^,S′)>E(S′,S′)。
两个定义的关系
（上面表格来自参考文献[6]）参考链接[1]表示两个定义完全等价，定义1较为严谨，定义2更方便使用。

其它

对称博弈
直观理解就是收益跟玩家无关，即收益矩阵

	CCC	DDD
CCC	r1,r2r_1,r_2r1,r2	s1,t1s_1,t_1s1,t1
DDD	t2,s2t_2,s_2t2,s2	p1,p2p_1,p_2p1,p2

中，下标不同的收益不同。
（参考链接[1]公开课中第11集的1:05:30处老师犯了个错误，弹幕里提到了对称博弈我觉得也不对，不知道哪有问题）一个应该是非对称博弈的例子为啥散户炒股票总赔钱? -bilibili 应该是零和博弈。

Bishop定理
该定理的进一步解释见参考链接[2]《演化与博弈论》。
如果S^\hat{S}S^是一个由纯策略A,B,C,⋯A,B,C,\cdotsA,B,C,⋯组成的混合演化稳定策略，那么
E(A,S^)=E(B,S^)=E(C,S^)=⋯=E(S^,S^)E(A,\hat{S})=E(B,\hat{S})=E(C,\hat{S})=\cdots=E(\hat{S},\hat{S}) E(A,S^)=E(B,S^)=E(C,S^)=⋯=E(S^,S^)

懦夫博弈与混合策略

关于懦夫博弈更详细的说明见懦夫博弈 -百度百科。
下面收益矩阵中的具体取值出自参考链接[1]。

	A	B
A	0	2
B	1	0

其中AAA策略表示强势，BBB策略表示弱势，E(A,A)=0,E(A,B)=2,E(B,A)=1,E(B,B)=0E(A,A)=0,E(A,B)=2,E(B,A)=1,E(B,B)=0E(A,A)=0,E(A,B)=2,E(B,A)=1,E(B,B)=0。根据定义2可得出，两个策略均不是演化稳定策略。演化稳定策略是一个混合策略，用S^\hat{S}S^表示，S^=23A+13B\hat{S}=\frac{2}{3}A+\frac{1}{3}BS^=32A+31B。设突变策略S′=kA+(1−k)BS'=kA+(1-k)BS′=kA+(1−k)B，列出收益矩阵计算收益(以E(S′,S^)E(S',\hat{S})E(S′,S^)为例)

	23A\frac{2}{3}A32A	13B\frac{1}{3}B31B
kAkAkA	0	2
(1−k)B(1-k)B(1−k)B	1	0

可计算出
E(S^,S^)=2⋅23⋅13+1⋅13⋅23=23E(S′,S^)=2⋅k⋅13+1⋅(1−k)⋅23=23E(S^,S′)=2⋅23⋅(1−k)+1⋅13⋅k=43−kE(S′,S′)=2⋅k⋅(1−k)+1⋅(1−k)⋅k=3k(1−k)\begin{aligned} &E(\hat{S},\hat{S})=2\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3} +1\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3} \\ &E(S',\hat{S})=2\cdot k\cdot\frac{1}{3} +1\cdot(1-k)\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3} \\ &E(\hat{S},S')=2\cdot\frac{2}{3}\cdot(1-k) +1\cdot\frac{1}{3}\cdot k=\frac{4}{3}-k \\ &E(S',S')=2\cdot k\cdot(1-k) +1\cdot(1-k)\cdot k=3k(1-k) \\ \end{aligned}E(S^,S^)=2⋅32⋅31+1⋅31⋅32=32E(S′,S^)=2⋅k⋅31+1⋅(1−k)⋅32=32E(S^,S′)=2⋅32⋅(1−k)+1⋅31⋅k=34−kE(S′,S′)=2⋅k⋅(1−k)+1⋅(1−k)⋅k=3k(1−k)
最后得到两个策略S^\hat{S}S^和S′S'S′的收益矩阵为

	S^\hat{S}S^	S′S'S′
S^\hat{S}S^	23\frac{2}{3}32	43−k\frac{4}{3}-k34−k
S′S'S′	23\frac{2}{3}32	3k(1−k)3k(1-k)3k(1−k)

由演化稳定定义2，E(S^,S^)=E(S′,S^)E(\hat{S},\hat{S})=E(S',\hat{S})E(S^,S^)=E(S′,S^)，但可以计算出，E(S^,S′)>E(S′,S′)E(\hat{S},S')>E(S',S')E(S^,S′)>E(S′,S′)，所以E(S^E(\hat{S}E(S^是演化稳定策略。
最后，由Bishop定理可求出（验证）演化稳定策略S^\hat{S}S^中的kkk值：
E(A,S^)=2(1−k)E(B,S^)=k2(1−k)=k,k=23\begin{aligned} &E(A,\hat{S})=2(1-k) \\ &E(B,\hat{S})=k \\ &2(1-k)=k,k=\frac{2}{3} \end{aligned}E(A,S^)=2(1−k)E(B,S^)=k2(1−k)=k,k=32

鹰鸽博弈

假设同一物种的两个竞争对手在某个价值为GGG的资源位置相遇，有两个纯策略：

鹰策略：你总是升级冲突，直到对方退出，或者你受到严重伤害。
鸽策略：你保持姿态直到对方退出，但如果对方升级冲突或看起来太强，你就退出。

(此处更详细的说明见鹰派与鸽派的博弈 -豆瓣)
收益矩阵

	H	D
H	V−C2\frac{V-C}{2}2V−C	V
D	0	V2\frac{V}{2}2V

其中需要满足 V<CV<CV<C，否则纯策略HHH就是ESS。使用同样的方法计算ESS，设S^=kH+(1−k)D\hat{S}=kH+(1-k)DS^=kH+(1−k)D，
E(H,S^)=V−C2k+(1−k)VE(D,S^)=(1−k)V2\begin{aligned} E(H,\hat{S}) =& \frac{V-C}{2}k+(1-k)V \\ E(D,\hat{S}) =& (1-k)\frac{V}{2} \\ \end{aligned}E(H,S^)=E(D,S^)=2V−Ck+(1−k)V(1−k)2V
令 E(H,S^)=E(D,S^)E(H,\hat{S})=E(D,\hat{S})E(H,S^)=E(D,S^)，可解得 k=VCk=\frac{V}{C}k=CV，代入得
E(H,S^)=E(D,S^)=V(C−V)2CE(S^,S^)=k2V−C2+k(1−k)V+(1−k)2V2=V(C−V)2CE(H,\hat{S})=E(D,\hat{S})=\frac{V(C-V)}{2C} \\ E(\hat{S},\hat{S})=k^2\frac{V-C}{2}+k(1-k)V+(1-k)^2\frac{V}{2} =\frac{V(C-V)}{2C} \\ E(H,S^)=E(D,S^)=2CV(C−V)E(S^,S^)=k22V−C+k(1−k)V+(1−k)22V=2CV(C−V)

复制动态方程

关于复制动态方程的进一步解释见参考链接[5]。[2]中的解释不太清晰，虽然用的是[2]中的符号表示。
定义两个策略的适应度WHW_HWH和WDW_DWD和种群的平均适应度Wˉ\bar{W}Wˉ分别为
WH=W0+pE(H,H)+(1−p)E(H,D)WD=W0+pE(D,H)+(1−p)E(D,D)Wˉ=pWH+(1−p)WDW_H=W_0+pE(H,H)+(1-p)E(H,D) \\ W_D=W_0+pE(D,H)+(1-p)E(D,D) \\ \bar{W}=pW_H+(1-p)W_D \\ WH=W0+pE(H,H)+(1−p)E(H,D)WD=W0+pE(D,H)+(1−p)E(D,D)Wˉ=pWH+(1−p)WD
其中W0W_0W0代表个体在博弈之前的基础适应度(?)。可以看出pE(H,H)+(1−p)E(H,D)=E(H,S)pE(H,H)+(1-p)E(H,D)=E(H,S)pE(H,H)+(1−p)E(H,D)=E(H,S)，其中S=pH+(1−p)DS=pH+(1-p)DS=pH+(1−p)D是混合策略（不知道E(H,S)E(H,S)E(H,S)和WHW_HWH之间有什么关系）。下一代中采取HHH策略的比例为
pn+1=pnWHWˉp_{n+1}=p_n\frac{W_H}{\bar{W}} pn+1=pnWˉWH
若定义q=(1−p)q=(1-p)q=(1−p)，且
qn+1=qnWDWˉq_{n+1}=q_n\frac{W_D}{\bar{W}} qn+1=qnWˉWD
可验证
pn+1+qn+1=pnWH+qnWDWˉ=1p_{n+1}+q_{n+1}=\frac{p_nW_H+q_nW_D}{\bar{W}}=1pn+1+qn+1=WˉpnWH+qnWD=1
由递推关系推导出复制动态方程
dpdt=pn+1−pn=pWH−WˉWˉ=pWH−(pWH+(1−p)WD)pWH+(1−p)WD=p(1−p)(WH−WD)WH−(1−p)(WH−WD)\begin{aligned} \frac{\text{d}p}{\text{d}t} =& p_{n+1}-p_n = p\frac{W_H-\bar{W}}{\bar{W}} \\ =& p\frac{W_H-(pW_H+(1-p)W_D)}{pW_H+(1-p)W_D} \\ =& \frac{p(1-p)(W_H-W_D)}{W_H-(1-p)(W_H-W_D)} \\ \end{aligned}dtdp===pn+1−pn=pWˉWH−WˉppWH+(1−p)WDWH−(pWH+(1−p)WD)WH−(1−p)(WH−WD)p(1−p)(WH−WD)
这里不知道推导过程哪里有问题，正确的复制动态方程应该是
dpdt=p(WH−Wˉ)\frac{\text{d}p}{\text{d}t} = p(W_H-\bar{W}) dtdp=p(WH−Wˉ)

仿真

取W0=0W_0=0W0=0，C=6C=6C=6，V=3V=3V=3，仿真结果如图所示。

另外仿真可得W0W_0W0对结果几乎没有影响，复制动态方程中的分母Wˉ\bar{W}Wˉ只影响曲线收敛的速度。

参考

【公开课】耶鲁大学：博弈论（中英双语字幕）-bilibili
约翰·梅纳德·史密斯(John Maynard Smith).《演化与博弈论》(Evolution and the Theory of Games)
鹰派与鸽派的博弈 -豆瓣
https://www.cs.rug.nl/~michael/teaching/gametheorysheets.pdf
Evolutionary Game Theory -Stanford Encyclopedia of Philosophy
李巧宇.基于演化博弈理论的自组织任务分配动力学研究[D].南开大学.2019.
懦夫博弈 -百度百科
https://www.cs.cmu.edu/~sandholm/cs15-892F13/algorithmic-game-theory.pdf

附代码

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
V = 3
C = 6
W0 = 0
EHH = (V-C)/2.0
EHD = V
EDH = 0
EDD = V/2.0
p = 1e-3
pvec = []
WBarvec = []
for n in range(100):wH = W0 + p*EHH + (1-p)*EHDwD = W0 + p*EDH + (1-p)*EDDWBar = p*wH + (1-p)*wDp += 0.1 * p*(wH - WBar)pvec.append(p)WBarvec.append(WBar)
plt.plot(pvec)
plt.plot(WBarvec)
plt.legend(['p', 'wBar'])
plt.show()

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