一、CAPM模型

1.1 模型

CAPM（Capital Asset Pricing Model），资本资产定价模型。模型形式为

$r_{n}-r_{f}=\beta (r_{m}-r_{f})+\varepsilon_{n}$

其中 $r_{n}$ 代表股票 n 的收益率； $r_{m}$ 代表市场组合的收益率，在实践中可以用大盘收益率代替； $r_{f}$ 代表无风险收益率，实践中可以用国债收益率代替； $\varepsilon_{n}$ 代表随机因素

1.2 模型求解

显然，估计式中的 $\beta$ 需要回归，那么是在时序上回归还是在截面上回归呢？

考虑截面回归，也就是等式左边是用某一天所有股票的 $r_{n}-r_{f}$ ，右边是某一天的大盘收益率。但是某一天的大盘收益率是一个常数！这意味着拿一个变量与一个常量作回归，没有意义，因此应当是在时序上回归

时序回归，也就是等式左边是用某一支股票在过去一段时间内（比如一年）每一天的 $r_{n}-r_{f}$ ，等式右边是大盘在同一时期每一天的 $r_{m}-r_{f}$ ，这样就避免了与常量回归的问题

究其本质，只能在时序上回归的原因是 $r_{m}-r_{f}$ 对截面上的所有股票是一样的，因此只能在时序上回归

1.3 模型意义

翻译一下模型：股票收益率只与大盘收益率相关，这种关系是线性的

很显然，如果 CAPM 模型是正确的，那么意味着选股是没有意义的——因为股票收益率只与大盘收益率相关，在截面上大盘收益率对所有股票是相同的，股票在截面上的收益率差异完全是由随机因素决定的。这显然与实践中观察到的情况不符

1.4 误区

首先，模型中是没有截距项（alpha）的！

其次，CAPM 模型在实践上并不正确！更不能作为炒股的指导！

再次，CAPM 模型的伟大之处在于其理论意义，也就是在满足一系列严苛的模型假设后，CAPM 模型是正确的。或者说，CAPM 模型是理想市场环境下股市应有的样子

二、Fama-French 三因子模型

1.1 模型

Fama-French 三因子模型，模型形式为

$r_{n}-r_{f}=\beta_{1} (r_{m}-r_{f})+\beta_{2}SMB+\beta_{3} HML+\alpha _{n}+\varepsilon_{n}$

其中 $r_{n}$ 代表股票 n 的收益率； $r_{m}$ 代表市场组合的收益率，在实践中可以用大盘收益率代替； $r_{f}$ 代表无风险收益率，实践中可以用国债收益率代替； $\varepsilon$ 代表随机因素；SMB（small minus big）代表规模风险溢价（size premium），HML（high minus low）代表价值风险溢价（value premium）；截距 $\alpha_{n}$ 代表定价错误（pricing error），如果模型正确这项应与 0 无显著差异

SMB 跟 HML 的计算方式：

先根据流通市值将股票分为 1：1的大市值（B）和小市值（S)股票；根据账面市值比数据将股票分为3：4：3的高中低（H/M/L）三组；这样我们就有了2×3共计6种投资组合（SL/SM/SH/BL/BM/BH）。然后我们通过市值加权平均的方式求得各组的收益率，最后就是求SMB和HML了：

$SMB=\frac{1}{3}(SH+SM+SL)-\frac{1}{3}(BH+BM+BL)$

$HML=\frac{1}{2}(BH+SH)-\frac{1}{2}(BL+SL)$

其本质是，SMB ：流通市值占后 50% 的小市值股票加权平均收益率 - 流通市值占前 50% 的大市值股票加权平均收益率

HML：流通市值占前 30% 的高价值股票加权平均收益率 - 流通市值占后 30% 的高价值股票加权平均收益率

1.2 模型求解

像 CAPM 模型一样，Fama-French 三因子模型是在时序上回归

1.3 模型意义

翻译一下模型：股票收益率只与大盘收益率、市值、市净率相关

相对于 CAPM 模型，Fama-French 三因子模型加入了市值、市净率两个新的因子，分别代表规模跟价值，这是在实践中广泛认同的两个因子，因此在实践中比 CAPM 模型的效果要好

但是其因子的构造过程（强行构造两个资产组合）在理论上缺乏依据

1.4 误区

首先，对于价值因子，有些资料上写的是账面市值比，有些资料上写的是市净率。其实账面市值比与市净率互为倒数

其次，划分股票时是以流通市值为依据的！不是以公司个数为依据的！

再次，计算平均收益率时是以流通市值为权重的！不是简单平均！

三、Barra 模型

1.1 模型

Barra 模型，模型形式为

$r_{n}-r_{f}=f_{C}+X_{I_{1}}f_{I_{1}}+...+X_{I_{P}}f_{I_{P}}+X_{S_{1}}f_{S_{1}}+...+X_{S_{Q}}f_{S_{Q}}+u_{n}$

其中 $r_{n}$ 代表股票 n 的收益率； $r_{f}$ 代表无风险收益率，实践中可以用国债收益率代替； $u_{n}$ 代表特异性收益率（specific return）； $f_{C}$ 代表国家因子收益率； $f_{I_{1}}$ 到 $f_{I_{P}}$ 代表 P 个行业因子收益率； $f_{S_{1}}$ 到 $f_{S_{Q}}$ 代表 Q 个风格因子收益率；对应的 X 代表因子暴露

所有股票在国家因子上的暴露均为1；如果股票属于行业 $I_{i}$ ，则 $X_{I_{i}}=1$ ，其余行业因子暴露为 0

1.2 模型求解

Barra 模型的求解是在截面上进行的，也就是已知因子暴露求因子收益率

那么因子暴露是什么呢？Barra 模型与 Fama-French 模型不同，它没有人为构造一个资产组合，而是直接把标准化后的变量值作为因子暴露。比如风格因子 S1 是市盈率，那么股票在市盈率上的暴露就是股票本身的市盈率的标准化

将上述模型写成矩阵形式：

$r=Xf+u$

注意到，国家因子与行业因子之间存在完全共线性，即 $1=X_{I_{1}}+...+X_{I_{P}$ ，所以需要对矩阵 X 加一个约束，即：

$f_{I_{1}}s_{I_{1}}+...+f_{I_{P}}s_{I_{P}}=0$ ，其中 $s_{I_{i}}$ 代表行业 i 的流通市值。这个约束的意义是：行业因子收益率的市值加权为 0

将此式代入后可以消掉 $f_{I_{P}}$ ，解决完全共线性的问题

在这个回归求解中，还涉及到异方差的问题，即 $u_{n}$ 的方差互不相同。实践中认为 $u_{n}$ 的方差与 $\sqrt{s_{n}}$ 成正比，因此最终进行的是加权最小二乘，权重是 $\frac{\sqrt{s_{n}}}{\sum \sqrt{s_{i}}}$

对上述带约束的方程求取加权最小二乘，可以解得因子收益率向量

1.3 模型意义

Barra 模型是一个典型的多因子模型。其创新点有四

一是引入了国家因子，并解决了国家因子与行业因子的多重共线性问题。宏观经济因子全部被国家因子所代表，经济周期则被行业因子所代表

二是使用的是加权最小二乘，解决了回归中的异方差问题

三是直接使用标准化后的变量值作为因子暴露，而非人为构造资产组合，这种模型更加自然

四是标准化可以使得因子暴露的方差为 1，所以求出的因子收益率是可以比较的

1.4 误区

首先，风格因子中不应该有 $r_{m}-r_{f}$ 这种在截面上对于所有股票都相同的因子——这些因子都被涵盖在国家因子中了

其次，前二个模型均是当期与当期数据的回归，barra 模型中的 X 是上一期的，而ｒ是当期的，也就是因变量与自变量之间隔了一期

再次，barra 模型不是用于预测股票收益率的！虽然 barra 模型中的 X 是上一期的，而ｒ是当期的，看似可以用来预测股票收益率，但是求出的因子收益率向量ｆ也是上一期的，预测股票收益率必须假设因子收益率向量ｆ在时序上平稳，而这与实践不符

那么 barra 模型是用来作什么的呢？答案是用来探究因子的性质的。在每个截面上都可以求得一个因子收益率ｆ，这样就有了每个因子的收益率序列，可以从中筛选出稳定的因子，也可以探究因子之间的相关性，进而探究股票之间的相关性，起到降维的作用

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CAPM、Fama-French 三因子、Barra模型

一、CAPM模型

1.1 模型

1.2 模型求解

1.3 模型意义

1.4 误区

二、Fama-French 三因子模型

1.1 模型

1.2 模型求解

1.3 模型意义

1.4 误区

三、Barra 模型

1.1 模型

1.2 模型求解

1.3 模型意义

1.4 误区

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