A R M A ( 1 , 1 ) {\rm ARMA}(1,\,1) ARMA(1,1) 模型
- 模型设定与平稳解
- 自协方差函数
- 自相关系数和偏相关系数

A R M A ( 1 , 1 ) {\rm ARMA}(1,\,1) ARMA(1,1) 模型

模型设定与平稳解

X t = a X t − 1 + ε t + b ε t − 1 X_t=aX_{t-1}+\varepsilon_t+b\varepsilon_{t-1} Xt=aXt−1+εt+bεt−1

特征多项式 A ( z ) = 1 − a z A(z)=1-az A(z)=1−az ， B ( z ) = 1 + b z B(z)=1+bz B(z)=1+bz 。

由泰勒级数计算 Wold 系数：
Φ ( z ) = B ( z ) A ( z ) = 1 + b z 1 − a z = ( 1 + b z ) ∑ j = 0 ∞ a j z j = 1 + ( a + b ) ∑ j = 1 ∞ a j − 1 z j \Phi(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{1+bz}{1-az}=(1+bz)\sum_{j=0}^\infty a^jz^j=1+(a+b)\sum_{j=1}^\infty a^{j-1}z^j Φ(z)=A(z)B(z)=1−az1+bz=(1+bz)j=0∑∞ajzj=1+(a+b)j=1∑∞aj−1zj
由 Wold 系数递推公式计算 Wold 系数：
ψ 0 = 1 , ψ 1 = b + a ψ 1 − 1 = b + a ψ 0 = a + b , \psi_0=1 \ , \ \ \ \ \psi_1=b+a\psi_{1-1}=b+a\psi_0=a+b \ , ψ0=1 , ψ1=b+aψ1−1=b+aψ0=a+b ,

ψ j = a ψ j − 1 = ⋯ = a j − 1 ψ 1 = a j − 1 ( a + b ) , j = 2 , 3 , 4 , ⋯ \psi_j=a\psi_{j-1}=\cdots=a^{j-1}\psi_1=a^{j-1}(a+b) \ , \ \ \ \ j=2,3,4,\cdots ψj=aψj−1=⋯=aj−1ψ1=aj−1(a+b) , j=2,3,4,⋯

A R M A ( 1 , 1 ) {\rm ARMA}(1,\,1) ARMA(1,1) 模型的平稳解：
X t = ε t + ( a + b ) ∑ j = 0 ∞ a j − 1 ε t − j . X_t=\varepsilon_t+(a+b)\sum_{j=0}^\infty a^{j-1}\varepsilon_{t-j} \ . Xt=εt+(a+b)j=0∑∞aj−1εt−j .

自协方差函数

由 Wold 系数计算自协方差函数：
γ 0 = σ 2 ∑ j = 0 ∞ ψ j 2 = σ 2 [ 1 + ∑ j = 1 ∞ ( a + b ) 2 a 2 ( j − 1 ) ] = σ 2 [ 1 + ( a + b ) 2 1 − a 2 ] = σ 2 1 + 2 a b + b 2 1 − a 2 . \begin{aligned} \gamma_0=\sigma^2\sum_{j=0}^\infty\psi_j^2 &=\sigma^2\left[1+\sum_{j=1}^\infty(a+b) ^2a^{2(j-1)}\right] \\ &=\sigma^2\left[1+\frac{(a+b)^2}{1-a^2}\right] \\ &=\sigma^2\frac{1+2ab+b^2}{1-a^2} \ . \end{aligned} γ0=σ2j=0∑∞ψj2=σ2[1+j=1∑∞(a+b)2a2(j−1)]=σ2[1+1−a2(a+b)2]=σ21−a21+2ab+b2 .

γ 1 = σ 2 ∑ j = 0 ∞ ψ j ψ j + 1 = σ 2 [ ψ 1 + ∑ j = 1 ∞ a ( a + b ) 2 a 2 ( j − 1 ) ] = σ 2 [ a + b + a ( a + b ) 2 1 − a 2 ] = σ 2 ( a + b ) ( 1 + a b ) 1 − a 2 . \begin{aligned} \gamma_1=\sigma^2\sum_{j=0}^\infty\psi_j\psi_{j+1} &=\sigma^2\left[\psi_1+\sum_{j=1}^\infty a(a+b) ^2a^{2(j-1)}\right] \\ &=\sigma^2\left[a+b+a\frac{(a+b)^2}{1-a^2}\right] \\ &=\sigma^2\frac{(a+b)(1+ab)}{1-a^2} \ . \end{aligned} γ1=σ2j=0∑∞ψjψj+1=σ2[ψ1+j=1∑∞a(a+b)2a2(j−1)]=σ2[a+b+a1−a2(a+b)2]=σ21−a2(a+b)(1+ab) .

γ k = σ 2 ∑ j = 0 ∞ ψ j ψ j + k = σ 2 a ∑ j = 0 ∞ ψ j ψ j + k − 1 = a γ k − 1 = a 2 γ k − 2 = ⋯ = a k − 1 γ 1 = a k − 1 σ 2 ( a + b ) ( 1 + a b ) 1 − a 2 . \begin{aligned} \gamma_k&=\sigma^2\sum_{j=0}^\infty\psi_j\psi_{j+k} =\sigma^2a\sum_{j=0}^\infty\psi_j\psi_{j+k-1} \\ &=a\gamma_{k-1}=a^2\gamma_{k-2}=\cdots=a^{k-1}\gamma_1=a^{k-1}\sigma^2\frac{(a+b)(1+ab)}{1-a^2} . \end{aligned} γk=σ2j=0∑∞ψjψj+k=σ2aj=0∑∞ψjψj+k−1=aγk−1=a2γk−2=⋯=ak−1γ1=ak−1σ21−a2(a+b)(1+ab).

用 Yule-Walker 方程计算自协方差函数：

对模型方程两边同乘 X t − k , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ X_{t-k}\ , \,k=0,1,2,\cdots Xt−k ,k=0,1,2,⋯ 并取期望，由于 A R M A ( 1 , 1 ) {\rm ARMA}(1,\,1) ARMA(1,1) 序列的合理性： E ( ε t X t − k ) = 0 , k ≥ 1 {\rm E}(\varepsilon_tX_{t-k})=0,\,k\geq1 E(εtXt−k)=0,k≥1 ，有
γ 0 = a γ 1 + E ( X t ε t ) + b E ( X t ε t − 1 ) , \gamma_0=a\gamma_1+{\rm E}(X_t\varepsilon_t)+b{\rm E}(X_t\varepsilon_{t-1}) \ , γ0=aγ1+E(Xtεt)+bE(Xtεt−1) ,

γ 1 = a γ 0 + 0 + b E ( X t − 1 ε t − 1 ) \gamma_1=a\gamma_0+0+b{\rm E}(X_{t-1}\varepsilon_{t-1}) γ1=aγ0+0+bE(Xt−1εt−1)

γ k = a γ k − 1 + 0 + b ⋅ 0 , k = 2 , 3 , ⋯ \gamma_k=a\gamma_{k-1}+0+b\cdot0 \ , \ \ \ \ k=2,3,\cdots γk=aγk−1+0+b⋅0 , k=2,3,⋯

由 Wold 系数表示知 E ( X t ε t − j ) = σ 2 ψ j {\rm E}(X_t\varepsilon_{t-j})=\sigma^2\psi_j E(Xtεt−j)=σ2ψj ，所以
γ 0 = a γ 1 + σ 2 [ 1 + b ( a + b ) ] , \gamma_0=a\gamma_1+\sigma^2[1+b(a+b)] \ , γ0=aγ1+σ2[1+b(a+b)] ,

γ 1 = a γ 0 + σ 2 b , \gamma_1=a\gamma_0+\sigma^2b \ , γ1=aγ0+σ2b ,

γ k = a γ k − 1 = a k − 1 γ 1 , k = 2 , 3 , ⋯ \gamma_k=a\gamma_{k-1}=a^{k-1}\gamma_1 \ , \ \ \ \ k=2,3,\cdots γk=aγk−1=ak−1γ1 , k=2,3,⋯

求解得自协方差函数为
γ k = { σ 2 1 + 2 a b + b 2 1 − a 2 , k = 0 ; σ 2 ( a + b ) ( 1 + a b ) 1 − a 2 , k = 1 ; a k − 1 σ 2 ( a + b ) ( 1 + a b ) 1 − a 2 , k = 2 , 3 , 4 , ⋯ \gamma_k=\left\{\begin{array}{lll} \sigma^2\dfrac{1+2ab+b^2}{1-a^2} \ , &k=0\ ;\\ \\ \sigma^2\dfrac{(a+b)(1+ab)}{1-a^2} \ , &k=1\ ;\\ \\ a^{k-1}\sigma^2\dfrac{(a+b)(1+ab)}{1-a^2} \ , &k=2,3,4,\cdots \end{array} \right. γk=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧σ21−a21+2ab+b2 ,σ21−a2(a+b)(1+ab) ,ak−1σ21−a2(a+b)(1+ab) ,k=0 ;k=1 ;k=2,3,4,⋯

自相关系数和偏相关系数

自相关函数为
ρ k = { 1 , k = 0 ; ( a + b ) ( 1 + a b ) 1 + 2 a b + b 2 , k = 1 ; a ρ k − 1 = a k − 1 ρ 1 , k = 2 , 3 , 4 , ⋯ \rho_k=\left\{\begin{array}{lll} 1 \ , &k=0\ ;\\ \\ \dfrac{(a+b)(1+ab)}{1+2ab+b^2} \ , &k=1\ ;\\ \\ a\rho_{k-1}=a^{k-1}\rho_1 \ , &k=2,3,4,\cdots \end{array} \right. ρk=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧1 ,1+2ab+b2(a+b)(1+ab) ,aρk−1=ak−1ρ1 ,k=0 ;k=1 ;k=2,3,4,⋯

用 Yule-Walker 方程计算偏相关系数的前几项
a 1 , 1 = ρ 1 = ( a + b ) ( 1 + a b ) 1 + 2 a b + b 2 . a_{1,1}=\rho_1=\dfrac{(a+b)(1+ab)}{1+2ab+b^2}. a1,1=ρ1=1+2ab+b2(a+b)(1+ab).
写出 a 2 , 2 a_{2,2} a2,2 满足的 Yule-Walker 方程
[ γ 0 γ 1 γ 1 γ 0 ] [ a 2 , 1 a 2 , 2 ] = [ γ 1 γ 2 ] \left[\begin{array}{cc} \gamma_0 & \gamma_1 \\ \gamma_1 & \gamma_0 \\ \end{array} \right] \left[\begin{array}{cc} a_{2,1} \\ a_{2,2} \\ \end{array} \right]=\left[\begin{array}{cc} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \end{array} \right] [γ0γ1γ1γ0][a2,1a2,2]=[γ1γ2]

[ 1 ρ 1 ρ 1 1 ] [ a 2 , 1 a 2 , 2 ] = [ ρ 1 ρ 2 ] = [ ρ 1 a ρ 1 ] \left[\begin{array}{cc} 1 & \rho_1 \\ \rho_1 & 1 \\ \end{array} \right] \left[\begin{array}{cc} a_{2,1} \\ a_{2,2} \\ \end{array} \right]=\left[\begin{array}{cc} \rho_1 \\ \rho_2 \\ \end{array} \right]=\left[\begin{array}{cc} \rho_1 \\ a\rho_1 \\ \end{array} \right] [1ρ1ρ11][a2,1a2,2]=[ρ1ρ2]=[ρ1aρ1]

由Cramer 法则
a 2 , 2 = ∣ 1 ρ 1 ρ 1 a ρ 1 ∣ ∣ 1 ρ 1 ρ 1 1 ∣ = ρ 1 ( a − ρ 1 ) 1 − ρ 1 2 a_{2,2}=\frac{\left|\begin{array}{cc} 1 & \rho_1 \\ \rho_1 & a\rho_1 \\ \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} 1 & \rho_1 \\ \rho_1 & 1 \\ \end{array} \right|}=\frac{\rho_1(a-\rho_1)}{1-\rho_1^2} a2,2=∣∣∣∣1ρ1ρ11∣∣∣∣∣∣∣∣1ρ1ρ1aρ1∣∣∣∣=1−ρ12ρ1(a−ρ1)
同理可得
a 3 , 3 = ∣ 1 ρ 1 ρ 1 ρ 1 1 ρ 2 ρ 2 ρ 1 ρ 3 ∣ ∣ 1 ρ 1 ρ 2 ρ 1 1 ρ 1 ρ 2 ρ 1 1 ∣ = ρ 1 ( a − ρ 1 ) 2 1 + 2 a ρ 1 3 − ρ 1 2 ( 2 + a 2 ) a_{3,3}=\frac{\left|\begin{array}{ccc} 1 & \rho_1 & \rho_1\\ \rho_1 & 1 & \rho_2\\ \rho_2 & \rho_1 & \rho_3 \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{ccc} 1 & \rho_1 & \rho_2\\ \rho_1 & 1 & \rho_1\\ \rho_2 & \rho_1 & 1 \end{array} \right|}=\frac{\rho_1(a-\rho_1)^2}{1+2a\rho_1^3-\rho_1^2(2+a^2)} a3,3=∣∣∣∣∣∣1ρ1ρ2ρ11ρ1ρ2ρ11∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1ρ1ρ2ρ11ρ1ρ1ρ2ρ3∣∣∣∣∣∣=1+2aρ13−ρ12(2+a2)ρ1(a−ρ1)2
也可以用 Levinson 递推公式计算偏相关系数的前几项
a 2 , 2 = γ 2 − γ 1 a 1 , 1 γ 0 − γ 1 a 1 , 1 = ρ 2 − ρ 1 2 1 − ρ 1 2 = ρ 1 ( a − ρ 1 ) 1 − ρ 1 2 , a_{2,2}=\dfrac{\gamma_2-\gamma_1a_{1,1}}{\gamma_0-\gamma_1a_{1,1}}=\frac{\rho_2-\rho_1^2}{1-\rho_1^2}=\frac{\rho_1(a-\rho_1)}{1-\rho_1^2}\ , a2,2=γ0−γ1a1,1γ2−γ1a1,1=1−ρ12ρ2−ρ12=1−ρ12ρ1(a−ρ1) ,

a 2 , 1 = a 1 , 1 − a 2 , 2 a 1 , 1 = ρ 1 ( 1 − ρ 1 ( a − ρ 1 ) 1 − ρ 1 2 ) = ρ 1 ( 1 − a ρ 1 ) 1 − ρ 1 2 a_{2,1}=a_{1,1}-a_{2,2}a_{1,1}=\rho_1\left(1-\frac{\rho_1(a-\rho_1)}{1-\rho_1^2}\right)=\frac{\rho_1(1-a\rho_1)}{1-\rho_1^2} a2,1=a1,1−a2,2a1,1=ρ1(1−1−ρ12ρ1(a−ρ1))=1−ρ12ρ1(1−aρ1)

a 3 , 3 = γ 3 − γ 2 a 2 , 1 − γ 1 a 2 , 2 γ 0 − γ 1 a 2 , 1 − γ 2 a 2 , 2 = ρ 3 − ρ 2 a 2 , 1 − ρ 1 a 2 , 2 1 − ρ 1 a 2 , 1 − ρ 2 a 2 , 2 = a 2 ρ 1 − a ρ 1 2 ( 1 − a ρ 1 ) 1 − ρ 1 2 − ρ 1 2 ( a − ρ 1 ) 1 − ρ 1 2 1 − ρ 1 2 ( 1 − a ρ 1 ) 1 − ρ 1 2 − a ρ 1 2 ( a − ρ 1 ) 1 − ρ 1 2 = ρ 1 ( a − ρ 1 ) 2 1 + 2 a ρ 1 3 − ρ 1 2 ( 2 + a 2 ) \begin{aligned} a_{3,3}&=\frac{\gamma_3-\gamma_2a_{2,1}-\gamma_1a_{2,2}}{\gamma_0-\gamma_1a_{2,1}-\gamma_2a_{2,2}}\\ \\ &=\frac{\rho_3-\rho_2a_{2,1}-\rho_1a_{2,2}}{1-\rho_1a_{2,1}-\rho_2a_{2,2}} \\ \\ &=\frac{a^2\rho_1-\dfrac{a\rho_1^2(1-a\rho_1)}{1-\rho_1^2}-\dfrac{\rho_1^2(a-\rho_1)}{1-\rho_1^2}}{1-\dfrac{\rho_1^2(1-a\rho_1)}{1-\rho_1^2}-\dfrac{a\rho_1^2(a-\rho_1)}{1-\rho_1^2}} \\ \\ &=\frac{\rho_1(a-\rho_1)^2}{1+2a\rho_1^3-\rho_1^2(2+a^2)} \end{aligned} a3,3=γ0−γ1a2,1−γ2a2,2γ3−γ2a2,1−γ1a2,2=1−ρ1a2,1−ρ2a2,2ρ3−ρ2a2,1−ρ1a2,2=1−1−ρ12ρ12(1−aρ1)−1−ρ12aρ12(a−ρ1)a2ρ1−1−ρ12aρ12(1−aρ1)−1−ρ12ρ12(a−ρ1)=1+2aρ13−ρ12(2+a2)ρ1(a−ρ1)2

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【时间序列分析】12. ARMA(1,1)模型

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A R M A ( 1 , 1 ) {\rm ARMA}(1,\,1) ARMA(1,1) 模型

模型设定与平稳解

自协方差函数

自相关系数和偏相关系数

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