【PBR系列三】BRDF方程及渲染方程

本文核心知识主要参照《现代计算机图形学入门-闫令琪课程课件PPT》，后续光线追踪系列知识也源于此处。

一、BRDF方程

通过上一部分所有辐射度量学各种概念的定义之后，我们可以从这样一个角度理解光线的反射，如下图所示：

一个点(微分面积元)在接受到一定方向上的亮度 dE(wi) 之后，再向不同方向把能量辐射出去 dLr(wr)

从直观的理解来说，不同物体表面材质自然会把一定方向上的入射亮度( dE(wi) )反射到不同的方向的光线上( dLr(wr))，如理想光滑表面会把入射光线完全反射到镜面反射方向，其它方向则完全没有。如理想粗糙表面会把入射光线均匀的反射到所有方向。因此所谓 BRDF 就是描述这样一个从不同方向入射之后，反射光线分布情况的函数，定义如下：

上图中下方的式子即为BRDF，它接收两个参数，入射光方向[公式],反射光方向[公式]，函数值为反射光的radiance与入射光的iiradiance的比值。(从某个方向接受到的光能有多少反射到另外一个方向)

借助BRDF，可以定义出反射方程如下：

即摄像机所接受到的 wr 方向上的反射光，是由所有不同方向上入射光线的irradiance贡献得到的(即图中式子的[公式])，而不同方向入射光线的irradiance对反射方向[公式]的贡献程度则由物体表面材质决定，所以乘上了一个BRDF函数。

到这里，通过辐射度量学，以及BRDF最终得到的反射方程正是一个完全正确的光线传播模型了，解决了在第一章提到的现有模型的所有缺点！（渲染方程只是在反射方程的基础之上加了一个自发光项，关于渲染方程会在下一章仔细去了解)。

在进入到渲染方程之前，再仔细观察一下反射方程：

不难发现正如上图中所说的，入射光线的radiance不仅仅是光源所引起的，还有可能是其他物体上着色点的反射光线的radiance，恰好反射到当前的着色点p(即间接光照)，同时其他物体上的反射光线的radiance依然也是由直接光照和间接光照构成，因此这与whitted-style当中的光线追踪过程十分类似，也是一个递归的过程。所以说想要解这样一个方程还是比较难的。

接下来，我们会引入渲染方程，并对渲染方程做一些直观上的物理解释，对于反射方程或者说是渲染方程的具体求解，留在之后系列的光线追踪去实现。

二、渲染方程及其物理含义解释

正如在上一节中提到的，渲染方程知识在反射方程的基础之上添加了一个自发光项(Emission term)，从而使得反射方程更加的general：

其中 Le(p,wo) 为自发光项，反射方程中的 cosQ 用 n*wi 代替。 (tips：所有光线方向均指向外)

接下来从一个点光源和单个物体的场景开始理解渲染方程：

(点光源对一个点来说自然只有一个方向有入射光，所以这里没有了积分)

多个点光源一个物体的情况：

将这些所有的点光源的贡献全部求和即可，那么如果点光源变成了面光源呢？如下图所示：

其实面光源就相当于无穷多个点光源的集合，只需要对面光源所在的立体角范围进行积分，并且能够确定不同立体角方向的面光源的入射光radiance即可。

那么更进一步的，再在场景当中加入其它物体，使得物体之间发生光线交互之后是什么情况呢：

如上图所示，可以把其它物体同样考虑成面光源，对其所占立体角进行积分即可，只不过对其它物体的立体角积分不像是面光源所有入射方向都有radiance，物体的立体角可能只有个别几个方向有入射的radiance(即多次物体间光线反射之后恰好照射到着色点x)，其它方向没有，但本质上都可以视作是面光源。

观察一下图中的渲染方程可以发现除了两个radiance，其它所有项都是知道的，可以将上式进一步写成如下图下方所示的式子：

其中各项与原渲染方程中一一对应，(这里其实是有数学严格推导的，不过我们只是为了接下来构建直观的物理解释，对于这些推导不必在意，默认成立即可)，再接着，可以把该式子离散化写为线性代数的形式：

其中L其实就是想要求得的反射光，E是自发光其实就是光源的发光项，K可以理解为对光线进行反射的一种算子操作(因为它由BRDF化来的)。那么利用线性代数的知识很容易就可以推导出L的结果如下：

仔细观察这个式子，注意E是光源所发出的光，K为反射算子，这样一个式子的物理含义如下图所示：

E 为光源发出的光，KE 则代表对光源反射一次的结果，即直接光照，那么前两项之和就是光栅化当中着色所考虑的结果，对于全局光照来说，还考虑了 K2E，即一次弹射的间接照明， K3E 就是两次弹射的间接照明，依次类推，如果所有的间接光照都考虑进去也就是我们常说的全局光照。

这样来看整个结果是不是就很清晰了，就是光源发光加上直接光照与多次间接光照的结果！而这一切都是从渲染方程推导而来的，因此这也正是渲染方程的物理意义！

三、BxDF系列

BxDF一般而言是对BRDF、BTDF、BSDF、BSSRDF等几种双向分布函数的一个统一的表示。

其中，BSDF可以看做BRDF和BTDF更一般的形式，而且BSDF = BRDF + BTDF。

而BSSRDF和BRDF的不同之处在于，BSSRDF可以指定不同的光线入射位置和出射位置。

在上述这些BxDF中，BRDF最为简单，也最为常用。因为游戏和电影中的大多数物体都是不透明的，用BRDF就完全足够。而BSDF、BTDF、BSSRDF往往更多用于半透明材质和次表面散射材质。

图 BSDF：BRDF + BTDF

我们时常讨论的PBR中的BxDF，一般都为BRDF，对于进阶的一些材质的渲染，才会讨论BSDF等其他三种BxDF。

另外，BxDF即上文所示渲染方程以及反射方程中的 fr 项（图片中也已标出）。

总结

以上【PBR系列二】辐射度量学理论和本章渲染方程相关知识就是所有的关于PBR的一些相关基础知识了，我们从辐射度量学入手，掌握了正确衡量光线属性的方法，由此定义出了BRDF，来表示物体的材质，即它对于光线的反射能量分布，最后结合辐射度量学与BRDF得到渲染方程，一个个真正完全正确的光线传播模型，这也是后续系列光线追踪的理论基础！

下一节我们也会具体来看PBR效果的实现。