Detachment（数论）

思路：

先按照正常构造自然数：
S=2×3×…×(n−Δx)×(n−Δx+1)×…×nS=2\times 3\times \ldots \times \left( n-\Delta x\right) \times \left( n-\Delta x+1\right) \times \ldots \times nS=2×3×…×(n−Δx)×(n−Δx+1)×…×n
一般会多出一个数Δx\Delta xΔx (Δx≤n\Delta x\leq nΔx≤n)
S=2×3×…×(n−Δx)×(n−Δx+2)×…×(n+1)(Δx<n−1)\begin{aligned}S=2\times 3\times \ldots \times \left( n-\Delta x\right) \times \left( n-\Delta x+2\right) \times \ldots \times \left( n+1\right) \\ \left( \Delta x <n-1\right) \end{aligned}S=2×3×…×(n−Δx)×(n−Δx+2)×…×(n+1)(Δx<n−1)
S=3×4×…×(n+1)(Δx=n−1)\begin{aligned}S=3\times 4\times \ldots \times \left( n+1\right) \\ \left( \Delta x=n-1\right) \end{aligned}S=3×4×…×(n+1)(Δx=n−1)
S=3×4×…×(n+2)(Δx=n)\begin{aligned}S=3\times 4\times \ldots \times \left( n+2\right) \\ \left( \Delta x=n\right) \end{aligned}S=3×4×…×(n+2)(Δx=n)
首先通过前缀和，前缀积，线性逆元进行数据预处理 , 之后通过二分优化找到Δx\Delta xΔx，最后带入公式分类讨论即可

代码：

#include<iostream>
#define LL long long
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
#define js ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0)
using namespace std;
const LL mod=1e9+7;
const int N=1e5+5;
LL sum[N],mul[N],inv[N];
void init(){sum[1]=0;mul[1]=1;inv[1]=1;//1的逆元是1fo(i,2,N){sum[i]=sum[i-1]+i;mul[i]=(mul[i-1]%mod)*i%mod;inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;}
}
LL t,x,l,r,mid;
LL ans=0;
int main(){init();scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%lld",&x);if(x<5){printf("%lld\n",x);continue;}l=2;r=N;while(l<r){mid=(l+r+1)>>1;if(sum[mid]<=x)l=mid;else r=mid-1;}LL res=x-sum[l];if(res==(l-1) || res==l)ans=(mul[l]*inv[2])%mod*(res+2)%mod;else ans=mul[l]*inv[l-res+1]%mod*(l+1)%mod;printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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