机器人运动估计——IMU运动方程与ESKF原理介绍（上）

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今天的内容关于机器人中常用的传感器IMU，我们用它来实现机器人姿态、速度、位置的估计。
今天将会介绍使用低成本IMU进行机器人运动估计的一个常用方法——ESKF。

1 四元数基础

四元数，英文名称为：quaternion。正如一个单位复数可以表示在复平面上的旋转一样，单位四元数也可以用于表示三维空间中的旋转，并且由于其在更新过程中不会发生奇异现象，因此在惯性导航中被广泛使用。一般来说，四元数的表示方式有许多，其中最常用的是两种，一种是Hamilton，另一种是JPL。由于，在机器人领域中，无论是ROS，Eigen，Ceres等等项目中都用到的是Hamilton四元数，因此，这里后续文章中使用以及介绍的也是这种。

以下介绍的都是在IMU运动方程以及ESKF中必要的关于四元数的知识，因此可能会过于简略，读者可暂时先跳转至第二部分阅读，遇到不明的四元数定义时，再回来查阅。

（1）四元数定义

Q=a+bi+cj+dk∈HQ=a+b i+c j+d k \in \mathbb{H}Q=a+bi+cj+dk∈H
其中，{a,b,c,d}∈R\{a, b, c, d\} \in \mathbb{R}{a,b,c,d}∈R是系数，{i,j,k}\{i, j, k\}{i,j,k}是虚部单位。
一个四元数可以表示为实部和虚部，如下：
Q=qw+qxi+qyj+qzk⇔Q=qw+qvQ=q_{w}+q_{x} i+q_{y} j+q_{z} k \quad \Leftrightarrow \quad Q=q_{w}+\mathbf{q}_{v}Q=qw+qxi+qyj+qzk⇔Q=qw+qv
记作向量形式则为：
q≜[qwqv]=[qwqxqyqz]\mathbf{q} \triangleq\left[\begin{array}{l} q_{w} \\ \mathbf{q}_{v} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} q_{w} \\ q_{x} \\ q_{y} \\ q_{z} \end{array}\right] q≜[qwqv]=⎣⎢⎢⎡qwqxqyqz⎦⎥⎥⎤

（2）单位四元数

单位四元数可以作为一种旋转的表示方式，它可以转换为欧拉角，也可以转换为旋转矩阵。
单位四元数的定义：
q=[cos⁡θusin⁡θ]\mathbf{q}=\left[\begin{array}{c} \cos \theta \\ \mathbf{u} \sin \theta \end{array}\right] q=[cosθusinθ]
其中，u=uxi+uyj+uzk\mathbf{u}=u_{x} i+u_{y} j+u_{z} ku=uxi+uyj+uzk是单位向量，而θ\thetaθ为一个标量。
由此可知，单位四元数的模长为1。
∣∣q∣∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ(ux2+uy2+uz2)=1||\mathbf{q}||=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta(u_x^2+u_y^2+u_z^2)}=1 ∣∣q∣∣=cos2θ+sin2θ(ux2+uy2+uz2)=1

（3）乘法

两个四元数乘法的记号为：⊗\otimes⊗，乘法的具体定义为：
p⊗q=[pwqw−pxqx−pyqy−pzqzpwqx+pxqw+pyqz−pzqypwqy−pxqz+pyqw+pzqxpwqz+pxqy−pyqx+pzqw]\mathbf{p} \otimes \mathbf{q}=\left[\begin{array}{l} p_{w} q_{w}-p_{x} q_{x}-p_{y} q_{y}-p_{z} q_{z} \\ p_{w} q_{x}+p_{x} q_{w}+p_{y} q_{z}-p_{z} q_{y} \\ p_{w} q_{y}-p_{x} q_{z}+p_{y} q_{w}+p_{z} q_{x} \\ p_{w} q_{z}+p_{x} q_{y}-p_{y} q_{x}+p_{z} q_{w} \end{array}\right] p⊗q=⎣⎢⎢⎡pwqw−pxqx−pyqy−pzqzpwqx+pxqw+pyqz−pzqypwqy−pxqz+pyqw+pzqxpwqz+pxqy−pyqx+pzqw⎦⎥⎥⎤
值得注意的是，两个单位四元数相乘还是单位四元数。

（4）纯四元数的指数函数

纯四元数的定义为，实部为0的四元数，即：v=[0qv]\mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}0 \\ \mathbf{q}_{v}\end{array}\right]v=[0qv]

定义纯四元数的指数函数如下：
ev=euθ=cos⁡θ+usin⁡θ=[cos⁡θusin⁡θ]e^{\mathbf{v}}=e^{\mathbf{u} \theta}=\cos \theta+\mathbf{u} \sin \theta=\left[\begin{array}{c} \cos \theta \\ \mathbf{u} \sin \theta \end{array}\right]ev=euθ=cosθ+usinθ=[cosθusinθ]
其中：v=uθ\mathbf{v}=\mathbf{u} \thetav=uθ，并且θ=∥v∥∈R\theta=\|\mathbf{v}\| \in \mathbb{R}θ=∥v∥∈R，u\mathbf{u}u为单位向量。

（5）单位四元数转旋转矩阵

R=R{q}=[qw2+qx2−qy2−qz22(qxqy−qwqz)2(qxqz+qwqy)2(qxqy+qwqz)qw2−qx2+qy2−qz22(qyqz−qwqx)2(qxqz−qwqy)2(qyqz+qwqx)qw2−qx2−qy2+qz2]\mathbf{R}=\mathbf{R}\{\mathbf{q}\}=\left[\begin{array}{ccc} q_{w}^{2}+q_{x}^{2}-q_{y}^{2}-q_{z}^{2} & 2\left(q_{x} q_{y}-q_{w} q_{z}\right) & 2\left(q_{x} q_{z}+q_{w} q_{y}\right) \\ 2\left(q_{x} q_{y}+q_{w} q_{z}\right) & q_{w}^{2}-q_{x}^{2}+q_{y}^{2}-q_{z}^{2} & 2\left(q_{y} q_{z}-q_{w} q_{x}\right) \\ 2\left(q_{x} q_{z}-q_{w} q_{y}\right) & 2\left(q_{y} q_{z}+q_{w} q_{x}\right) & q_{w}^{2}-q_{x}^{2}-q_{y}^{2}+q_{z}^{2} \end{array}\right]R=R{q}=⎣⎡qw2+qx2−qy2−qz22(qxqy+qwqz)2(qxqz−qwqy)2(qxqy−qwqz)qw2−qx2+qy2−qz22(qyqz+qwqx)2(qxqz+qwqy)2(qyqz−qwqx)qw2−qx2−qy2+qz2⎦⎤
注意，必须是单位四元数！！！

（6）单位四元数转欧拉角

由于欧拉角的定义方式也有很多，这里说明的是依据Z-Y-X定义的欧拉角，其中欧拉角与旋转矩阵的变换关系是：
R=[cos⁡ψcos⁡θcos⁡ψsin⁡θsin⁡ϕ−sin⁡ψcos⁡ϕcos⁡ψsin⁡θcos⁡ϕ+sin⁡ψsin⁡ϕsin⁡ψcos⁡θsin⁡ψsin⁡θsin⁡ϕ+cos⁡ψcos⁡ϕsin⁡ψsin⁡θcos⁡ϕ−cos⁡ψsin⁡ϕ−sin⁡θcos⁡θsin⁡ϕcos⁡θcos⁡ϕ]\mathbf{R}=\left[\begin{array}{ccc}{\cos \psi \cos \theta} & {\cos \psi \sin \theta \sin \phi-\sin \psi \cos \phi} & {\cos \psi \sin \theta \cos \phi+\sin \psi \sin \phi} \\ {\sin \psi \cos \theta} & {\sin \psi \sin \theta \sin \phi+\cos \psi \cos \phi} & {\sin \psi \sin \theta \cos \phi-\cos \psi \sin \phi} \\ {-\sin \theta} & {\cos \theta \sin \phi} & {\cos \theta \cos \phi}\end{array}\right] R=⎣⎡cosψcosθsinψcosθ−sinθcosψsinθsinϕ−sinψcosϕsinψsinθsinϕ+cosψcosϕcosθsinϕcosψsinθcosϕ+sinψsinϕsinψsinθcosϕ−cosψsinϕcosθcosϕ⎦⎤
其中：ϕ,θ,ψ\phi,\theta,\psiϕ,θ,ψ为欧拉角，分别为横滚角(X)，俯仰角(Y)，偏航角(Z)。
所以，四元数转欧拉角的关系为：
ϕ=arctan⁡2(qyqz+qwqx)qw2−qx2−qy2+qz2θ=−arcsin⁡[2(qxqz−qwqy)]ψ=arctan⁡2(qxqy+qwqz)qw2+qx2−qy2−qz2\begin{aligned} \phi &= \arctan\frac{ 2\left(q_{y} q_{z}+q_{w} q_{x}\right)}{q_{w}^{2}-q_{x}^{2}-q_{y}^{2}+q_{z}^{2}}\\ \theta&=-\arcsin [2\left(q_{x} q_{z}-q_{w} q_{y}\right)]\\ \psi&=\arctan\frac{2\left(q_{x} q_{y}+q_{w} q_{z}\right)}{q_{w}^{2}+q_{x}^{2}-q_{y}^{2}-q_{z}^{2}} \end{aligned} ϕθψ=arctanqw2−qx2−qy2+qz22(qyqz+qwqx)=−arcsin[2(qxqz−qwqy)]=arctanqw2+qx2−qy2−qz22(qxqy+qwqz)
注意，必须是单位四元数！！！

2 IMU运动方程

2.1 关于IMU测量数据

在聊到IMU测量数据的时候，我们首先需要明白两个坐标系的定义。

一是惯性系，二是IMU坐标系。

这里的惯性系就是指静止或者其速度的改变可以忽略不记的坐标系。通常在机器人的应用中，由于所用的IMU都是低成本IMU，对于地球自转角速度不够敏感，所以可以认为与地面固连的坐标系都是惯性坐标系。然而对于，航空航天应用而言，用到的IMU精度很高，对于惯性导航的要求也很严格，则需要考虑地球自转角速度，这是惯性坐标系为地球惯性坐标系。

IMU测量的实际上就是IMU坐标系相对于惯性系的加速度和角速度。值得注意的是，这里的相对于惯性系的加速度不仅包括载体的运动加速度，还包括重力加速度。
所以，我们需要特别注意，加速度计测量的不是载体的运动加速度，而是载体相对惯性空间的绝对加速度和引力加速度之和，称作“比力”。

通常，IMU的测量模型如下：
am=Rt⊤(at−gt)+abt+anωm=ωt+ωbt+ωn\begin{array}{l} \mathbf{a}_{m}=\mathbf{R}_{t}^{\top}\left(\mathbf{a}_{t}-\mathbf{g}_{t}\right)+\mathbf{a}_{b t}+\mathbf{a}_{n} \\ \bm{\omega}_{m}=\bm\omega_{t}+\bm\omega_{b t}+\bm\omega_{n} \end{array}am=Rt⊤(at−gt)+abt+anωm=ωt+ωbt+ωn
其中，Rt⊤\mathbf{R}_{t}^{\top}Rt⊤表示从惯性系到IMU坐标系的旋转矩阵。abt,ωbt\mathbf{a}_{b t},\bm\omega_{b t}abt,ωbt代表随机游走噪声，可以理解为加速度计和陀螺仪的零漂。an,ωn\mathbf{a}_{n},\bm\omega_{n}an,ωn为零均值高斯白噪声。gt\mathbf{g}_{t}gt代表重力加速度，表示在惯性系下。这里关于gt\mathbf{g}_{t}gt的符号不用特别在意，这个负号并不是一定的，也可以写成正号，取决于gt\mathbf{g}_{t}gt的定义。

2.2 IMU运动方程

IMU的运动方程主要描述了物体速度，位置以及姿态在IMU测量数据的激励下产生的变化。除了关于四元数的部分以外，用到的知识就是小学二年级学过的物理知识。比如，位置的导数是速度，速度的导数是加速度。
我们定义我们关心的状态量为：

pt\mathbf{p}_{t}pt：表示IMU系相对惯性系的位置，在惯性系下表示的，默认是三维的
vt\mathbf{v}_{t}vt：表示IMU系相对惯性系的速度，同样是在惯性系下表示的，默认是三维的
qt\mathbf{q}_{t}qt：表示从IMU系到惯性系的四元数，表示从IMU系到惯性系的旋转变换

于是，IMU的运动方程可以表示如下：
p˙t=vtv˙t=at=Rt(am−abt−an)+gtq˙t=12qt⊗ωt=12qt⊗(ωm−ωbt−ωn)a˙bt=awω˙bt=ωwg˙t=0\begin{aligned} \dot{\mathbf{p}}_{t} &=\mathbf{v}_{t} \\ \dot{\mathbf{v}}_{t} &=\mathbf{a}_{t}=\mathbf{R}_{t}\left(\mathbf{a}_{m}-\mathbf{a}_{b t}-\mathbf{a}_{n}\right)+\mathbf{g}_{t} \\ \dot{\mathbf{q}}_{t} &=\frac{1}{2} \mathbf{q}_{t} \otimes \bm\omega_{t}=\frac{1}{2} \mathbf{q}_{t} \otimes\left(\bm\omega_{m}-\bm\omega_{b t}-\bm\omega_{n}\right) \\ \dot{\mathbf{a}}_{b t} &=\mathbf{a}_{w} \\ \dot{\bm\omega}_{b t} &=\boldsymbol{\omega}_{w} \\ \dot{\mathbf{g}}_{t} &=0 \end{aligned}p˙tv˙tq˙ta˙btω˙btg˙t=vt=at=Rt(am−abt−an)+gt=21qt⊗ωt=21qt⊗(ωm−ωbt−ωn)=aw=ωw=0
其中，Rt=R{qt}\mathbf{R}_{t}=\mathbf{R}\{\mathbf{q}_{t}\}Rt=R{qt}为基于qt\mathbf{q}_{t}qt得到的旋转矩阵，表示了从IMU系到惯性系的旋转变换。aw,ωw\mathbf{a}_{w},\bm\omega_waw,ωw为零均值高斯白噪声。

值得注意的是，在这组运动方程中，把gt\mathbf{g}_{t}gt也视作变化的量，后续基于此运动方程构造的ESKF也会对gt\mathbf{g}_{t}gt进行更新。这在许多IMU运动方程中是不常见到的，这样做有什么好处呢？

首先，我们要明白gt\mathbf{g}_{t}gt并不等于[0,0,9.8]T[0,0,9.8]^T[0,0,9.8]T，gt\mathbf{g}_{t}gt的值取决于IMU的初始姿态。这是因为，IMU运动方程是递推的方程，计算出来的位置和速度都是相对于初始状态的，而不是绝对的位置和速度。因此为了方便起见，我们通常都会定义初始时刻的IMU坐标系为惯性系，这样我们后面计算出来的虽然是相对于初始IMU系的位置和速度，但也可以作为绝对的位置和速度了。于是，gt\mathbf{g}_{t}gt既然代表了惯性系下的重力加速度，也就是初始的IMU坐标系下表示的重力加速度，所以当初始IMU坐标系不是水平的时候，gt\mathbf{g}_{t}gt自然也就不等于[0,0,9.8]T[0,0,9.8]^T[0,0,9.8]T了。

进一步地，我们也可以知道，估计gt\mathbf{g}_{t}gt，也就是估计初始时刻IMU的姿态。既然我们通过可以gt\mathbf{g}_{t}gt估计了初始IMU的姿态，那么初始时刻的四元数就可以直接定义为q0=(1,0,0,0)\mathbf{q}_{0}=(1,0,0,0)q0=(1,0,0,0)。这种操作实际上就是，我们先假设初始时刻四元数为q0=(1,0,0,0)\mathbf{q}_{0}=(1,0,0,0)q0=(1,0,0,0)，然后在此基础上估计gt\mathbf{g}_{t}gt。当然，还有另外一种方法就是，先假设gt=[0,0,9.8]\mathbf{g}_{t}=[0,0,9.8]gt=[0,0,9.8]，然后估计初始时刻的IMU相距水平姿态相差多少。这两种方法都可以，然后估计gt\mathbf{g}_{t}gt的话可以使模型的线性化程度更好。

为了更好的阅读体验，本文分为上下两文，关于ESKF的内容以及MATLAB代码，请移步下一篇文章。