海明码（汉明码）详解

海明码简介

海明码是由Richard Hanming于1950年提出的，它具有一位纠错能力。

海明码的计算

设欲检测的二进制代码为n位，为使其具有纠错能力，需要添加k位检测位，组成n+k位的代码。为了能准确对错误定位以及指出代码没错，新添加的检测位数k应满足：2^k ≥ n+k+1
由此关系可求得不同代码长度n所需要检测位的位数k。

海明码的编码规则如下：
设k个校验位为P_k,P_k-1,·····,P₁， n个数据位为 D_n-1,D_n-2,·····,D₁,D₀，对应的海明码为H_n+k,H_n+k-1,······,H₁，那么
（1）P_i在海明码的第2^i-1位置，比如P₁，2^1-1=1，所以在H₁的位置。
（2）海明码中的任何一位都是由若干个校验位来校验的。其对应关系如下：被校验的海明位的下标等于所有参与校验该为的校验位的下标之和，而校验位由自身校验。比如H₁₂，下标为12，等于8+4，所以是海明码的第8、第4位校验位来检测的。

举例

对于8位的数据位，进行海明校验需要4个校验位（2^k ≥ n+k+1，2⁴ ≥ 8+4+1）。令数据位为D₇,D₆,D₅,D₄,D₃,D₂,D₁,D₀，校验位为P₄,P₃,P₂,P₁，形成的海明码为H₁₂,H₁₁,····,H₁，则编码过程如下：
（1）确定D与P在海明码中的位置

H₁₂	H₁₁	H₁₀	H₉	H₈	H₇	H₆	H₅	H₄	H₃	H₂	H₁
D₇	D₆	D₅	D₄	P₄	D₃	D₂	D₁	P₃	D₀	P₂	P₁

（2）计算校验位
这里主要讲一种简易的计算校验位的方法：
第一个校验位P₁是位于H₁的位置，它检验的位置是H₁,H₃,H₅,H₇,H₉,H₁₁，也就是读一位，隔一位，···
第二个校验位P₂是位于H₂的位置，它检验的位置是H₂,H₃,H₆,H₇,H₁₀,H₁₁，也就是读两位，隔两位，···
第三个校验位P₃是位于H₄的位置，它检验的位置是H₄,H₅,H₆,H₇,H₁₂，也就是读四位，隔四位，···
第四个校验位P₄是位于H₈的位置，它检验的位置是H₈,H₉,H₁₀,H₁₁,H₁₂，也就是读八位，隔八位，···
以此类推，就可以轻易得知，第n位校验位校验的海明位是，从自身开始，读2^n-1位，隔2^n-1位，·····，直到读到尽头。

知道校验位后，对校验位对应的数据进行异或运算（默认是偶校验），即
P₁=D₀⊕D₁⊕D₃⊕D₄⊕D₆
P₂=D₀⊕D₂⊕D₃⊕D₅⊕D₆
P₃=D₁⊕D₂⊕D₃⊕D₇
P₄=D₄⊕D₅⊕D₆⊕D₇

若采用奇校验，则将各校验位的偶校验值取反即可。

（3）检验错误。对使用海明码的数据进行校验差错检测很简单，根据上面的方法，我们可以很轻易得知每个校验位负责检测的海明位，只要对其进行异或运算即可。
G₄=P₄⊕D₄⊕D₅⊕D₆⊕D₇
G₃=P₃=D₁⊕D₂⊕D₃⊕D₇
G₂=D₂⊕D₂⊕D₃⊕D₅⊕D₆
G₁=D₁⊕D₁⊕D₃⊕D₄⊕D₆

若采用偶校验，则G₄G₃G₂G₁全为0是表示数据没有错误，奇校验应全为1，否则即出现了错误。当发生错误时，将G₄G₃G₂G₁的值转化为十进制即可知道发生错误的位置，如G₄G₃G₂G₁=0110，即表示H₆这个位置的数据发生了错误，只要将其取反即可纠正。

以上就是海明码的运算思想，欢迎大家来交流学习。