数值计算（一）：引论

因为笔者最近在复习数值计算，所以开一个数值计算的版块

数值计算：为数学的一个分支，是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科。它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象，为计算数学的主体部分。主要内容有：线性方程组的求解，如直接求法，迭代求法，非线性方程组和方程的数值求解方式，矩阵特征值问题的数值计算，插值法，函数逼近。数值积分和数值微分以及常微分方程初值问题的数值解法几大版块。

首先介绍几个概念：

误差

误差主要分为四大类：输入数据的误差，舍入误差，截断误差，在计算过程中产生的误差传播。

输入数据的误差：在计算之前的误差，例如物理数据测量的不可靠性引起的等。

舍入误差:计算机的数字位数有限，导致在二进制存储的计算机的浮点数据是实数集的一个有限子集而不是全集，运算中常用四舍五入的方式处理十进制的有限数字，所以在运算中就会引起误差。

截断误差:一般是指求解某个数学问题的数值解释没用有限的过程替代无限的过程中产生的误差。

在计算过程中产生的误差传播:一个计算可能包括多个计算过程，由于上述三种原因产生的不可抗误差，计算中使用的基本都是近似值，从而出现的误差传播。

为研究误差对结果影响的大小，所以引入了两个量来评估误差：绝对误差，相对误差。
假如一个数的精确值是x,近视值是x1，则绝对误差就是精确值减去近似值的绝对值，相对误差是：精确值减去近似值的绝对值除以精确值。由于精确值往往是未知的，所以绝对误差基本没啥意义，而相对误差也常常是求出一个误差上限，而不是具体的值。
绝对误差界和相对误差界：

假设xAx_AxA是某个实数xxx的近似值，存在一个ϵA\epsilon_AϵA满足：∣x−xA∣≤ϵA\mid x-x_A\mid\leq\epsilon_A∣x−xA∣≤ϵA则把ϵA\epsilon_AϵA称为xAx_AxA的一个绝对误差界，若xA≠0x_A\neq0xA=0,称ϵA∣x∣\frac{\epsilon_A}{\mid x \mid}∣x∣ϵA是xAx_AxA的一个相对误差界。

有效数字：

设xAx_AxA是某个实数xxx的近似值，写成xA=±10k×0.d1d2...di...x_A=\pm10^k\times0.d_1d_2...d_i...xA=±10k×0.d1d2...di...,其中xAx_AxA可以是无限或者有限小数，如果n是满足：∣x−xa∣≤0.5×10k−n\mid x-x_a\mid\leq0.5\times10^{k-n}∣x−xa∣≤0.5×10k−n的最大非负整数，则称xAx_AxA为xxx的具有n位有效数字的近似值。

定理：设x∗x^*x∗为xxx的n位有效数字的近似值，则其相对误差限为

∣Er∗(x)∣≤12a1×10−(n−1)\mid E_r^*(x)\mid\leq\frac{1}{2a_1}\times10^{-(n-1)}∣Er∗(x)∣≤2a11×10−(n−1),

反之如果近似值x∗x^*x∗的相对误差满足：

∣Er∗(x)∣≤12(a1+1)×10−(n−1)\mid E_r^*(x)\mid\leq\frac{1}{2(a_1+1)}\times10^{-(n-1)}∣Er∗(x)∣≤2(a1+1)1×10−(n−1),则x∗x^*x∗至少具有n为有效数字。

数值稳定性问题：对一种数值方法，如果初始数据或计算过程某一步的中间结果有微小的改变，由此引起最后结果的改变也是微小的，就称这个方法是数值稳定的，否则就是数值不稳定的。
整两道例题回顾一下知识点：

引论总是简单的，后面的难度将逐步提升直到烈狱难度。

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预知后事，请听下回分解！！！！

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