一、经典MUSIC算法

MUSIC算法全称为：MUltiple Signal Classification.是波达角(DOA)估计问题中使用最广泛的算法之一。

1.1 算法介绍(第一阶段)

模型选用加性噪声模型：
x=Sα+n.S=[s(ϕ1)s(ϕ2)⋯,s(ϕM)],α=[α1,α2⋯αM]T.\begin{aligned} &\bm{x = S \alpha + n}. \\ &\mathbf{S = [s(\phi_1)\ s(\phi_2)\ \cdots,\ s(\phi_M)]}, \\ &\bm{\alpha = [\alpha_1,\ \alpha_2\ \cdots\ \alpha_M]^T}. \end{aligned} x=Sα+n.S=[s(ϕ1) s(ϕ2) ⋯, s(ϕM)],α=[α1, α2 ⋯ αM]T.

s(ϕi)\mathbf{s(\phi_i)}s(ϕi)是N×1N\times1N×1大小的矩阵：s(ϕi)=[s(ϕi1)s(ϕi2)⋯s(ϕiN)]T\mathbf{s(\phi_i)}=[s(\phi_{i1})\ s(\phi_{i2})\ \cdots\ s(\phi_{iN})]^Ts(ϕi)=[s(ϕi1) s(ϕi2) ⋯ s(ϕiN)]T，代表第i个信号的转向矢量(steering vector)，也可理解为第i个信号在接收阵列N个元素上产生的效果。因此矩阵S\mathbf{S}S是N×MN\times MN×M大小的矩阵，表示入射信号；

αi\bm{\alpha_i}αi是1×N1\times N1×N大小的矩阵：αi=[αi1αi2⋯αiN]\bm{\alpha_i} = [\alpha_{i1}\ \alpha_{i2}\ \cdots\ \alpha_{iN}]αi=[αi1 αi2 ⋯ αiN]，代表信道特征。因此矩阵α\bm{\alpha}α是M×NM \times NM×N大小的矩阵.

假设不同信号之间互不相关。计算矩阵x\mathbf{x}x的相关矩阵R\mathbf{R}R：
R=E[xxH],=E[SααHSH]+E[nnH],=SASH+σ2I,=Rs+σ2I,\begin{aligned} \mathbf{R}&=E[\mathbf{xx}^H], \\ &=E[\mathbf{S} \bm{\alpha \alpha}^H \mathbf{S}^H]+E[\mathbf{nn}^H], \\ &= \mathbf{SAS}^H+\sigma^2\mathbf{I}, \\ &=\mathbf{R_s}+\sigma^2 \mathbf{I,} \end{aligned} R=E[xxH],=E[SααHSH]+E[nnH],=SASH+σ2I,=Rs+σ2I,
其中：
Rs=SASHA=ααH=[E[∣α1∣2]0⋯00E[∣α2∣2]⋯000⋯E[∣αM∣2]].\begin{aligned} \mathbf{R_s} &= \mathbf{SAS}^H \\ \mathbf{A} &= \bm{\alpha \alpha}^H \\ &= \begin{bmatrix} E[|\alpha_1|^2]& 0& \cdots& 0\\ 0& E[|\alpha_2|^2]& \cdots& 0\\ 0& 0& \cdots& E[|\alpha_M|^2] \end{bmatrix}. \end{aligned} RsA=SASH=ααH=⎣⎡E[∣α1∣2]000E[∣α2∣2]0⋯⋯⋯00E[∣αM∣2]⎦⎤.

矩阵A\mathbf{A}A是一个对角阵，其中的0元素是因为E[αi⋅αj]=0.(i≠j)E[\bm{\alpha_i \cdot \alpha_j}]=0.(i \ne j)E[αi⋅αj]=0.(i=j)表示不同信号之间互不相关。

S\mathbf{S}S是N×MN \times MN×M大小的矩阵。A\mathbf{A}A是M×MM \times MM×M大小的方阵。由此可以得到，Rs\mathbf{R_s}Rs是N×NN \times NN×N 大小的方阵，且秩为M。

因为Rs\mathbf{R_s}Rs不是满秩的，所以它有(N−M)(N-M)(N−M)个特征向量对应于0特征值。我们就设qm\mathbf{q_m}qm为这样的特征向量之一，qm\mathbf{q_m}qm是N×1N \times 1N×1大小的列矩阵。由此可以得到如下结果：
Rsqm=SASHqm=0,⇒qmHSASHqm=0,⇒SHqm=0\begin{aligned} \mathbf{R_s q_m} &= \mathbf{SAS}^H \mathbf{q_m} = 0, \\ \Rightarrow \mathbf{q_m}^H\mathbf{SAS}^H \mathbf{q_m} &= 0, \\ \Rightarrow \mathbf{S}^H \mathbf{q_m} &= 0 \end{aligned} Rsqm⇒qmHSASHqm⇒SHqm=SASHqm=0,=0,=0

MUSIC算法的基础：
由 SHqm=0\mathbf{S}^H \mathbf{q_m} = 0SHqm=0这一结果可得：矩阵Rs\mathbf{R_s}Rs的所有对应于0特征值的(N−M)(N-M)(N−M)个特征向量(qm\mathbf{q_m}qm)与所有MMM个信号转向矢量(signal steering vector)都正交。

设定：矩阵Qn\mathbf{Q_n}Qn由这些特征向量qm\mathbf{q_m}qm组成，Qn\mathbf{Q_n}Qn就是N×(N−M)N \times (N-M)N×(N−M)大小的矩阵。MUSIC算法所需计算的功率谱表达如下：
PMUSIC(ϕ)=1∑m=1N−M∣sH(ϕ)qm∣2=1sH(ϕ)QnQnHs(ϕ)=1∣∣QnHs(ϕ)∣∣2\begin{aligned} P_{MUSIC}(\phi)&=\frac{1}{\sum_{m=1}^{N-M}|\mathbf{s}^H(\phi) \mathbf{q_m}|^2}\\ &=\frac{1}{\mathbf{s}^H(\phi)\mathbf{Q_nQ_n}^H\mathbf{s(\phi)}} \\ &=\frac{1}{||\bm{Q_n}^H\ s(\phi)||^2} \end{aligned} PMUSIC(ϕ)=∑m=1N−M∣sH(ϕ)qm∣21=sH(ϕ)QnQnHs(ϕ)1=∣∣QnH s(ϕ)∣∣21

注意到，Qn\mathbf{Q_n}Qn是由qm\mathbf{q_m}qm组成的，因此矩阵Qn\mathbf{Q_n}Qn与信号旋转矢量s(ϕ)\mathbf{s(\phi)}s(ϕ)也是正交的，即当ϕ\phiϕ是一个波达角时，QnHs(ϕ)=0\bm{Q_n}^H\ s(\phi)=0QnH s(ϕ)=0，这表现在PMUSICP_{MUSIC}PMUSIC谱线上就是一个波峰（因为分母为0）。因此波达角的估计体现在功率谱上就是M个最大的峰值对应的ϕ\phiϕ.

1.2 算法介绍(第二阶段)

在上述MUSIC算法中有一缺陷：在现实情况下，信号的协方差矩阵Rs\mathbf{R_s}Rs不可知，我们最多可以估计矩阵R\mathbf{R}R(含噪声)，此二者的关键联系点就是：特征向量矩阵Qn\mathbf{Q_n}Qn是相同的，下面就证明这一点。

对于任意的qm∈Q\mathbf{q_m}\in\mathbf{Q}qm∈Q (Q\mathbf{Q}Q是矩阵Rs\mathbf{R_s}Rs所有特征向量组成的矩阵，形状是N×NN \times NN×N大小的方阵)我们有：
Rsqm=λqm⇒Rqm=Rsqm+σ2Iqm,=(λm+σ2)qm,\begin{aligned} \mathbf{R_sq_m}&=\mathbf{\lambda q_m} \\ \Rightarrow\ \mathbf{Rq_m} &= \mathbf{R_s q_m}+\sigma^2\mathbf{Iq_m}, \\ &=(\lambda_m+\sigma^2)\mathbf{q_m}, \end{aligned} Rsqm⇒ Rqm=λqm=Rsqm+σ2Iqm,=(λm+σ2)qm,

由此可见，矩阵Rs\mathbf{R_s}Rs的特征向量也同样是矩阵R\mathbf{R}R的特征向量，只不过特征值从原来的λ\lambdaλ变成了(λ+σ2)(\lambda+\sigma^2)(λ+σ2)。注意，如前所述，矩阵Rs\mathbf{R_s}Rs有(N−M)(N-M)(N−M)个对应于0特征值的特征向量，它们的λ=0\lambda=0λ=0，对应到矩阵R\mathbf{R}R中，特征值λ+σ2=σ2\lambda+\sigma^2=\sigma^2λ+σ2=σ2，也一共有(N−M)(N-M)(N−M)个

用矩阵Rs\mathbf{R_s}Rs的NNN个特征向量组成一个N×NN \times NN×N大小的对角阵Λ\bm{\Lambda}Λ,可得：
RsQ=QΛ⇒Rs=QΛQH.\begin{aligned} \mathbf{R_sQ} &= \mathbf{Q \Lambda} \\ \Rightarrow \mathbf{R_s} &= \mathbf{Q \Lambda Q}^H. \end{aligned} RsQ⇒Rs=QΛ=QΛQH.
Λ=[λ10⋯00⋯00λ2⋯00⋯0⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮00⋯λM0⋯000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋱⋮00⋯00⋯0]\begin{aligned} \mathbf{\Lambda} &= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_M & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} Λ=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡λ10⋮00⋮00λ2⋮00⋮0⋯⋯⋱⋯⋯⋮⋯00⋮λM0⋮000⋮00⋮0⋯⋯⋮⋯⋯⋱⋯00⋮00⋮0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

同理，对于矩阵R\mathbf{R}R可得：
R=Q[Λ+σ2I]QH=Q[λ1+σ20⋯00⋯00λ2+σ2⋯00⋯0⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮00⋯λM+σ20⋯000⋯0σ2⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋱⋮00⋯00⋯σ2]QH\begin{aligned} \mathbf{R} &= \mathbf{Q[\Lambda} + \sigma^2\mathbf{I]Q}^H \\ &= \mathbf{Q} \begin{bmatrix} \lambda_1+\sigma^2 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2+\sigma^2 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_M+\sigma^2 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \sigma^2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & \sigma^2 \end{bmatrix} \mathbf{Q}^H \end{aligned} R=Q[Λ+σ2I]QH=Q⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡λ1+σ20⋮00⋮00λ2+σ2⋮00⋮0⋯⋯⋱⋯⋯⋮⋯00⋮λM+σ20⋮000⋮0σ2⋮0⋯⋯⋮⋯⋯⋱⋯00⋮00⋮σ2⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤QH

依据特征分解，我们可以将矩阵Q\mathbf{Q}Q分解成信号矩阵Qs\mathbf{Q_s}Qs(矩阵Q\mathbf{Q}Q的前M列，对应M个信号特征值)和噪声特征向量矩阵Qn\mathbf{Q_n}Qn(矩阵Q\mathbf{Q}Q的后(N−M)(N-M)(N−M)列，对应(N−M)(N-M)(N−M)个噪声特征值σ2\sigma^2σ2)

矩阵Qs\mathbf{Q_s}Qs定义了信号子空间
矩阵Qn\mathbf{Q_n}Qn定义了噪声子空间

注意到：矩阵Qn\mathbf{Q_n}Qn与矩阵Rs\mathbf{R_s}Rs对应于0特征值的特征向量所组成的矩阵完全相同（就是这个矩阵）。表明，矩阵R\mathbf{R}R和矩阵Rs\mathbf{R_s}Rs有完全相同的特征向量矩阵。

1.3 对MUSIC算法的几点观察

在以上理论中，矩阵R\mathbf{R}R的最小的几个特征值都是噪声特征值，等于σ2\sigma^2σ2,这样一来就可以区分信号和噪声特征值了：找出几个小的、相等的特征值，这就是噪声特征值，其余的是信号特征值；
Qs⊥Qn\mathbf{Q_s}\perp \mathbf{Q_n}Qs⊥Qn

依据上述两点，我们可以得出MUSIC算法的前提/基础：
所有的噪声特征值与信号转向矢量都正交
PMUSIC(ϕ)=1∑m=M+1N∣qms(ϕ)∣2=1sH(ϕ)QnQnHs(ϕ),\begin{aligned} P_{MUSIC}(\phi)&=\frac{1}{\sum_{m=M+1}^{N}|\mathbf{q_m} \mathbf{s(\phi)}|^2}\\ &=\frac{1}{\mathbf{s}^H(\phi)\mathbf{Q_nQ_n}^H\mathbf{s(\phi)}}, \end{aligned} PMUSIC(ϕ)=∑m=M+1N∣qms(ϕ)∣21=sH(ϕ)QnQnHs(ϕ)1,

式中qm\mathbf{q_m}qm是(N−M)(N-M)(N−M)个噪声特征矩阵中的一个。如果ϕ\phiϕ就是信号的DOA之一，那么s(ϕ)⊥qm\mathbf{s(\phi)} \perp \mathbf{q_m}s(ϕ)⊥qm，所以PMUSICP_{MUSIC}PMUSIC的分母就恒等于0。因此，DOA就是PMUSICP_{MUSIC}PMUSIC的几个峰值。

二、现实情况下的MUSIC算法

2.1 现实与理论的差距

难点1：相关矩阵R\mathbf{R}R是未知的，它必须从接收信号中估计得来。而这项估计采用的是在多个数据快照(snapshots of data)中取平均值的方法：
R=1K∑k=1KxkxkH,\mathbf{R} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}{\mathbf{x_k}\mathbf{x_k}^H}, R=K1k=1∑KxkxkH,
在参考文献[2]中，作者表明，快照数量K>2NK>2NK>2N时，信噪比最佳能达到3dB.
难点2：使用估计出来的协方差矩阵RRR会使得噪声的特征值不再相等了（原本理想情况下噪声特征值就是σ2\sigma^2σ2）
难点3：在现实情况下，特征值更趋向于一个连续体(continuum)，信号和噪声特征值的区分不再明显了。
难点4：如果信号的数量(MMM)未知，那么就不容易确定哪些特征值是相等的（至少在理论上是对应相等的，它们代表噪声空间）

2.2 在现实情况下使用MUSIC算法的步骤

依据式R=1K∑k=1KxkxkH\mathbf{R} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}{\mathbf{x_k}\mathbf{x_k}^H}R=K1∑k=1KxkxkH来估计出相关矩阵R\mathbf{R}R，并找到其特征分解：R=QΛQH\mathbf{R=Q\Lambda Q}^HR=QΛQH
将矩阵Q\mathbf{Q}Q进行分解，得到矩阵Qn\mathbf{Q_n}Qn，它对应于矩阵Q\mathbf{Q}Q的(N−M)(N-M)(N−M)个最小（不一定相等）的特征值，表示噪声空间。
得到PMUSIC(ϕ)P_{MUSIC}(\phi)PMUSIC(ϕ)并绘制图像
MMM个信号角度就是PMUSIC(ϕ)P_{MUSIC}(\phi)PMUSIC(ϕ)函数的MMM个峰值的横坐标值。

参考文献（仅写文章的标题，以做记录）

[1]. Direction of Arrival Estimation
[2]. Rapid convergence rate in adaptive arrays

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DOA算法1：MUSIC算法（一）

目录

一、经典MUSIC算法

1.1 算法介绍(第一阶段)

1.2 算法介绍(第二阶段)

1.3 对MUSIC算法的几点观察

二、现实情况下的MUSIC算法

2.1 现实与理论的差距

2.2 在现实情况下使用MUSIC算法的步骤

参考文献（仅写文章的标题，以做记录）

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一、 经典MUSIC算法

1.1 算法介绍(第一阶段)

1.2 算法介绍(第二阶段)

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二、现实情况下的MUSIC算法

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