[MATLAB/编程]报童的诀窍/报童问题-图解法和二分法

MATLAB编程题目 : 报童的诀窍

关于每天报纸购进量的优化模型：

已知b为每份报纸的购进价，a为零售价，c为退回价（a>b>c），每天报纸的需求量为r份的概率是f( r )(r=0,1,2,…)。求每天购进量n份，使日平均收入，即

达到最大。

视r为连续变量，f( r )转化为概率密度函数p( r )，则所求n*满足

实验要求：

已知b=0.75，a=1，c=0.6,r服从均值=500（份），均方差=50（份）的正态分布。报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？

1．的图解法（编程）

参考实验12-1的实验要求2，编写程序，求出n*。

初始根区间为[450，550]，增量取0.01,随着根区间变小可改为0.001。

clc;
clear;syms y1 y2 a b c z
a = 1;
b = 0.75;
c = 0.6;
z = 450:0.01:550;y1 = (a-b)/(a-c);
y2 = normcdf(z,500,50)-normcdf(0,500,50); %分布函数plot([450,550],[y1,y1])
hold on;
plot(z,y2);grid on;% 输出交点
fsolve(@(z) (a-b)/(a-c) - normcdf(z,500,50)-normcdf(0,500,50),[450 550])

下图可见，交点在520左侧

补充:

关于匿名函数

@运算符创建句柄，@(x)为函数的入口，指定函数当中的变量x为函数的输入，在接受函数和进行求解时，对象为x。

如下例子，

sqr = @(z) 2.*z
sqr(3)% 输入的变量默认输入到z当中
-> 6

关于fsolve

fsolve(@(x) f(x))解决的问题为f(x)=0

如下例子

fsolve(@(z) (a-b)/(a-c) - normcdf(z,500,50)-normcdf(0,500,50),[450 550])

解释 : 在z = [450,550]之间，寻找(a-b)/(a-c) - normcdf(z,500,50)-normcdf(0,500,50) = 0的解

2．的数值解法（二分法/编程）

参考实验12-1的实验要求3，编写程序，求出n和G(n)。

初始根区间为[450，550]。

erfen.m

function y=erfen(a,b)  %二分法
if fun(a)*fun(b)<0    c=(a+b)/2;while abs(fun(c))>1.0e-4    % 二分分界点if fun(a)*fun(c)<0b=c; c=(a+b)/2;elseif fun(c)*fun(b)<0a=c; c=(a+b)/2;endendy=c;
elseif fun(a)==0y=a;
elseif fun(b)==0y=b;
elsedisp('区间中不存在根');
end
return;

main.m

function main()
clc;
n = erfen(450,550) a=1;b=0.75;c=0.6;
r=n+1;
while (a-b)*n*normpdf(r,500,50)>exp(-6) r=r+1;
end
r=n+1:r;
G = sum((a-b)*n*normpdf(r,500,50)); % 离散值求和
r=0:n;
G = G+sum(((a-b)*r-(b-c)*(n-r)).*normpdf(r,500,50))   % 离散值求和
return;

fun.m

function y=fun(z)  %方程
a = 1;
b = 0.75;
c = 0.6;
y = (a-b)/(a-c) - normcdf(z,500,50) - normcdf(0,500,50); % 构造函数差，方便二分查找
return;

1.计算正态变量的概率密度函数的调用形式为：Y=normpdf(X,mu,sigma)

正态变量的概率密度函数为

其中：X是x的一组值，Y对应一组函数值。

mu为μ，sigma为σ。

当μ=0，σ=1时，为标准正态变量的概率密度函数。

2.计算正态变量的分布函数的调用形式为：P=normcdf(X,mu,sigma)

正态变量的分布函数为且
标准正态变量的概率密度函数对应标准正态变量的分布函数。