计算矩阵的逆源码（使用伴随矩阵，3×3的矩阵）

目的：最近写C++代码，遇到求矩阵的逆。Eigen库有方法计算。但是因为再求导过程中，需要求逆的具体方式。因此自己实现了求矩阵的逆。具体代码如下，对于公式部分后续再补，更新。

//更新公式部分
维基百科的定义：
在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（英语：adjugate matrix）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。
假设A\bm{A}A的伴随矩阵记作adj(A)adj(\bm{A})adj(A)或者A∗\bm{A}^*A∗
因为在项目中通常需要3×33\times 33×3的矩阵，它可以定义为：
A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]\bm{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} A=⎣⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎦⎤

它的伴随矩阵是：

adj(A)=[+∣a22a23a32a33∣−∣a12a13a32a33∣+∣a12a13a22a23∣−∣a21a23a31a33∣+∣a11a13a31a33∣−∣a11a13a21a23∣+∣a21a22a31a32∣−∣a11a12a31a32∣+∣a11a12a21a22∣]adj(\bm{A})=\begin{bmatrix} +\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \\ \\ -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \\ \\ +\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix} adj(A)=⎣⎡+∣∣a22a32a23a33∣∣−∣∣a21a31a23a33∣∣+∣∣a21a31a22a32∣∣−∣∣a12a32a13a33∣∣+∣∣a11a31a13a33∣∣−∣∣a11a31a12a32∣∣+∣∣a12a22a13a23∣∣−∣∣a11a21a13a23∣∣+∣∣a11a21a12a22∣∣⎦⎤

其中
∣aimainajmajn∣=det[aimainajmajn]=det∣aimainajmajn∣\begin{vmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{vmatrix} =det \begin{bmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{bmatrix}=det \begin{vmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{vmatrix} ∣∣aimajmainajn∣∣=det[aimajmainajn]=det∣∣aimajmainajn∣∣

从上面公式可以看出，伴随矩阵是余因子矩阵的转置。

伴随矩阵可以用来计算矩阵的逆：
A−1=adj(A)det(A)=A∗∣A∣\bm{A}^{-1}=\cfrac{adj(\bm{A})}{det(\bm{A})}=\cfrac{\bm{A}^*}{|\bm{A}|} A−1=det(A)adj(A)=∣A∣A∗
其中A∗\bm{A}^*A∗为伴随矩阵；∣A∣|\bm{A}|∣A∣为矩阵的行列式。

其中行列式计算可以参考我的blog
https://blog.csdn.net/weixin_43851636/article/details/125999210?spm=1001.2014.3001.5502

下面是通过伴随矩阵计算矩阵的逆的C++代码，它和Eigen库中的求逆一样。

c++代码

#include<Eigen/Eigen>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>/*
m=[n1,n2,n3]
*/
Eigen::Matrix3f ConstructMatrix3fFromVectors(Eigen::Vector3f& n1, Eigen::Vector3f& n2, Eigen::Vector3f& n3)
{Eigen::Matrix3f m;m.block<1, 3>(0, 0) = n1;m.block<1, 3>(1, 0) = n2;m.block<1, 3>(2, 0) = n3;return m;
}Eigen::Matrix3f ConstructAdjugateMatrix3f(Eigen::Matrix3f& m)
{Eigen::Matrix3f adju_m;adju_m(0, 0) = m(1, 1)*m(2, 2) - m(2, 1)*m(1, 2);adju_m(0, 1) = -(m(0, 1)*m(2, 2) - m(2, 1)*m(0, 2));adju_m(0, 2) = m(0, 1)*m(1, 2) - m(1, 1)*m(0, 2);adju_m(1, 0) = -(m(1, 0)*m(2, 2) - m(2, 0)*m(1, 2));adju_m(1, 1) = m(0, 0)*m(2, 2) - m(2, 0)*m(0, 2);adju_m(1, 2) = -(m(0, 0)*m(1, 2) - m(1, 0)*m(0, 2));adju_m(2, 0) = m(1, 0)*m(2, 1) - m(2, 0)*m(1, 1);adju_m(2, 1) = -(m(0, 0)*m(2, 1) - m(2, 0)*m(0, 1));adju_m(2, 2) = m(0, 0)*m(1, 1) - m(1, 0)*m(0, 1);return adju_m;
}Eigen::Vector3f ComputeKVector(Eigen::Matrix3f& adjm, Eigen::Vector3f& b)
{Eigen::Vector3f k;k = adjm*b;return k;
}//test adjugate matrixint main(int argc, char** argv)
{Eigen::Vector3f n1 = Eigen::Vector3f(1, 2, 3);Eigen::Vector3f n2 = Eigen::Vector3f(2, 1, 3);Eigen::Vector3f n3 = Eigen::Vector3f(2, 2, 1);Eigen::Matrix3f m = ConstructMatrix3fFromVectors(n1, n2, n3);Eigen::Matrix3f m_i = m.inverse();std::cerr << "m_i: \n" << m_i << std::endl;Eigen::Matrix3f adju_m = ConstructAdjugateMatrix3f(m);float det = m.determinant();Eigen::Matrix3f m_i_my = adju_m/det;std::cerr << "m_i_my: \n" << m_i_my << std::endl;std::cerr<<"end test..."<<std::endl;return 0;
}

运行的结果如下：它和eigen计算一样的。

贴上维基百科的超链接为：
https://zh.m.wikipedia.org/zh-sg/%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5

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