math: 雅可比矩阵 黑塞矩阵
雅可比矩阵：一个多元函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵
黑塞矩阵：一个多元函数的二阶偏导数以一定方式排列成的矩阵
-
雅可比矩阵
定义
在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。
在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。
映到 
， 其雅可比矩阵是从 到 的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。 假设
是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成：
。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵：
，或者
这个矩阵的第 i行是由梯度函数的转置表示的
中的一点，F在 p点可微分，根据高等微积分，
是在这点的导数。在此情况下，
这个线性映射即F在点p附近的最优线性逼近，也就是说当x足够靠近点p时，我们有：
实例
的F函数：
在点
的雅可比矩阵是连续且可逆的，则F在点 p的某一邻域内也是可逆的，且有
黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。
定义
在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数。
二元函数的黑塞矩阵
在
点的某个邻域内具有任意阶导数 ，则
在
点处的泰勒展开式 ： 
，其中 
， 
。二元函数 
在 
点处的泰勒展开式为：
。将上述展开式写成矩阵形式，则有：
是
在
点处的黑塞矩阵。它是由函数
在
点处的二阶偏导数所组成的方阵。
多元函数的黑塞矩阵
在
点处的泰勒展开式的矩阵形式为：
，它是
在
点处的梯度。
为函数
在
点处的黑塞矩阵
在点X处的二阶偏导数组成的
阶对称矩阵。
对称性
在
区域内二阶连续可导，那么
黑塞矩阵
在
内为对称矩阵
的二阶偏导数连续，则二阶偏导数的求导顺序没有区别，即
则对于矩阵
，有
，所以
为对称矩阵。
利用黑塞矩阵判定多元函数的极值
定理
在点
的邻域内有二阶连续偏导，若有：
在
处是极小值；
在
处是极大值；
不是极值点。
是“可疑”极值点，尚需要利用其他方法来判定。
实例
的极值。
，故该三元函数的驻点是
。
，
因为A是正定矩阵，故
是极小值点，且极小值
。
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