【2017CCPC哈尔滨赛区 HDU 6242】Geometry Problem【随机化】

题意：

给出 NNN 个点（二维坐标），需要求出一个点 RRR 和点 PPP（均为实数），使得 NNN 个点中有至少 ceil(N2)ceil(\frac{N}{2})ceil(2N) 个点在以点 PPP 为圆心，半径为 RRR 的圆上。保证有解。(1≤N≤105)(1\leq N\leq 10^5)(1≤N≤105)

思路：

NNN 非常大，直接求取不可取。于是考虑随机。（计算几何中的经典套路之一，例如撒豆法猜结论）

我们随机三个点，三个点都在圆上的概率为 0.1250.1250.125，因此随机不到三个点都在圆上的概率为 0.8750.8750.875，随机 100100100 次都随机不到三个点同时在圆上的概率为 0.875100=1.5∗10−60.875^{100}=1.5*10^{-6}0.875100=1.5∗10−6，概率极低。

因此我们每次随机三个点，求这三个点的外接圆圆心，然后 O(n)O(n)O(n) 判断是否合法，最多随机 100100100 次即可得到答案。

此题唯一的坑点在于，n≤4n\leq 4n≤4 的时候需要特判。因为 n≤4n\leq 4n≤4 的时可能不存在三个点同时在圆上。比赛时就是因为这个坑点一直 wawawa 也过不去…

还有就是精度不要太高，因为开根误差太大，精度太高会 TLETLETLE。

总结：

计算几何经典套路 —— 随机化（算清楚概率即可）
计算几何细节处理 —— 务必小心仔细（小数据和很大数据一定要判断清楚）

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#include <ctime>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
#define LOG3(x1,x2,y1,y2,z1,z2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << " , " << z1 << ": " << z2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const db EPS = 1e-4;
const int N = 1e5+1000;
using namespace std;
inline int sign(db a) {return a < -EPS ? -1 : a > EPS; } //返回-1表示a < 0, 1表示a > 0, 0表示a = 0
inline int cmp(db a, db b) {return sign(a-b); } //返回-1表示a < b, 1表示a > b，0表示 a==bint n;
struct Point{db x,y;Point() {}Point(db _x, db _y) : x(_x), y(_y) {}Point operator+(Point p) { return {x+p.x, y+p.y}; }Point operator-(Point p) { return {x-p.x, y-p.y}; }Point operator*(db d) { return {x*d, y*d}; }Point operator/(db d) { return {x/d, y/d}; }Point rotleft() { return Point(-y,x); } //逆时针旋转90度Point rotright() { return Point(y,-x); } //顺时针旋转90度db dot(Point p) { return x*p.x+y*p.y; }    //点积db det(Point p) { return x*p.y-y*p.x; } //叉积bool operator < (Point p) const {int c = cmp(x, p.x);if (c) return c == -1;return cmp(y, p.y) == -1;}db abs() { return sqrt(abs2()); }db abs2() { return x*x+y*y; }db disTo(Point p) { return (*this-p).abs(); }
}P[N];struct Line {Point s,e;Line() {}Line(Point _s, Point _e) : s(_s), e(_e) {}Point crosspoint(Line v){ //求两直线交点db a1 = (v.e-v.s).det(s-v.s);db a2 = (v.e-v.s).det(e-v.s);return Point((s.x*a2-e.x*a1)/(a2-a1),(s.y*a2-e.y*a1)/(a2-a1));}bool parallel(Line v){return sign((e-s).det(v.e-v.s)) == 0;}Line ajust(){Point tmp = (s+e)/2.0;Point tmp2 = tmp;db k = s.y-e.y;if(sign(k) == 0) tmp2.y += 1.0;else{if(sign(s.x-e.x) == 0) tmp2.x += 1.0;else{k = -(s.x-e.x)/(s.y-e.y);db b = tmp.y-k*tmp.x;tmp2.x = tmp.x+1.0;tmp2.y = k*tmp2.x+b;}}s = tmp; e = tmp2;return *this;}
}l1,l2,l3;int main()
{srand(time(0));int _; scanf("%d",&_);while(_--){scanf("%d",&n);rep(i,1,n) scanf("%lf %lf",&P[i].x,&P[i].y);if(n == 1){Point thp(1011.0,1011.0);db r = thp.disTo(P[1]);printf("%f %f %f\n",thp.x,thp.y,r);continue;}else if(n <= 4){Point thp = (P[1]+P[2])/2.0;db r = thp.disTo(P[1]);printf("%f %f %f\n",thp.x,thp.y,r);continue;}while(1){int p1 = rand()%n+1;int p2 = p1, p3 = p1;while(p2 == p1){p2 = rand()%n+1;}while(p3 == p1 || p3 == p2){p3 = rand()%n+1;    }l1 = {P[p1],P[p2]};l2 = {P[p1],P[p3]};l1 = l1.ajust(); l2 = l2.ajust();if(l1.parallel(l2)) continue;Point thp = l1.crosspoint(l2);db r = thp.disTo(P[p1]);int cnt = 0;rep(i,1,n){db hp = thp.disTo(P[i]);if(cmp(hp,r) == 0) cnt++;}if(cnt*2 >= n){r = thp.disTo(P[p1]);printf("%f %f %f\n",thp.x,thp.y,r);break;}}}return 0;
}

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