现代通信原理3.2：线性系统的时域与频域特性

文章目录

1、线性系统的时域特性
2、线性系统的频域特性

1、线性系统的时域特性

我们知道信号既可以在频域也可以在时域上表示。线性系统也是这样。下面我们来看看线性系统的时域描述方法。
对于线性时不变系统，它的输出y(t)y(t)y(t)为输入x(t)x(t)x(t)与系统冲激响应h(t)h(t)h(t)的卷积，即
(1.1)h(t)=x(t)∗h(t),\tag{1.1} h(t)=x(t)*h(t), h(t)=x(t)∗h(t),(1.1)
其中∗*∗为卷积运算，它定义为
(1.2)h(t)∗x(t)=∫−∞∞h(τ)x(t−τ)dτ.\tag{1.2} h(t)*x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau. h(t)∗x(t)=∫−∞∞h(τ)x(t−τ)dτ.(1.2)如果x(t)x(t)x(t)为因果信号，也就是说它只在t>0t>0t>0时才不为零，(2)可以重新写为
(1.3)h(t)∗x(t)=∫−∞th(τ)x(t−τ)dτ.\tag{1.3} h(t)*x(t)=\int_{-\infty}^{t}h(\tau)x(t-\tau)d\tau. h(t)∗x(t)=∫−∞th(τ)x(t−τ)dτ.(1.3)由于卷积满足交换律，所以我们也可以把(1)写为
(1.4)y(t)=x(t)∗h(t).\tag{1.4} y(t)=x(t)*h(t). y(t)=x(t)∗h(t).(1.4)

2、线性系统的频域特性

在介绍线性系统的频域描述之前，我们先来回顾时域卷积定理。
(2.1)y(t)=x1(t)∗x2(t)↔Y(f)=X1(f)X2(f)\tag{2.1} y(t)=x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow Y(f)=X_1(f)X_2(f) y(t)=x1(t)∗x2(t)↔Y(f)=X1(f)X2(f)(2.1)我们来看看时域卷积定理有什么物理意义？
时域卷积定理是说，假定我们有两个信号，它们的波形分别是x1(t)x_1(t)x1(t)和x2(t)x_2(t)x2(t)，如果这两个波形卷积，得到的一个新的信号波形y(t)y(t)y(t)。我们现在关注的问题是，y(t)y(t)y(t)的傅立叶变换（频谱密度）是什么呢？
时域卷积定理告诉我们了上面这个问题的答案。y(t)y(t)y(t)的傅立叶变换（频谱密度）等于x1(t)x_1(t)x1(t)和x2(t)x_2(t)x2(t)的傅立叶变换（频谱密度）X1(f)X_1(f)X1(f)和X2(f)X_2(f)X2(f)的乘积。
时域卷积定理对于我们建立线性系统的频域描述具有非常重要的作用。我们回忆下线性系统的时域表达：
(2.2)y(t)=x(t)∗h(t),\tag{2.2} y(t)=x(t)*h(t), y(t)=x(t)∗h(t),(2.2)
其中x(t)x(t)x(t)是线性系统的输入信号，h(t)h(t)h(t)是冲激响应。注意h(t)h(t)h(t)其实就是信号波形。这很容易理解，如果系统的输入为冲激信号δ(t)\delta(t)δ(t)，系统的输出信号就是h(t)h(t)h(t)【注：因为δ(t)∗h(t)=h(t)\delta(t)*h(t)=h(t)δ(t)∗h(t)=h(t)】。这样我们就可以得到系统输出波形y(t)y(t)y(t)的傅里叶变换（频谱密度）为
(2.3)Y(f)=X(f)H(f)\tag{2.3} Y(f)=X(f)H(f) Y(f)=X(f)H(f)(2.3)即系统输出信号的频谱密度Y(f)Y(f)Y(f)等于输入信号的频谱X(f)X(f)X(f)与冲激响应频谱H(f)的乘积H(f)的乘积H(f)的乘积。值得注意的是系统冲激响应h(t)h(t)h(t)的傅里叶变换（频谱密度）H(f)H(f)H(f)，我们把它称为系统的频域传递函数。
这样我们就知道，对于线性系统，我们分别用h(t)h(t)h(t)和H(f)H(f)H(f)表示时域与频域特性，且
(2.4)h(t)↔H(f).\tag{2.4} h(t)\leftrightarrow H(f). h(t)↔H(f).(2.4)