前言：

摘抄自wiki的关于仿射变换的定义：

仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。

一个对向量

 平移

，与旋转放大缩小

 的仿射映射为

【1】

1、移位加密：

比方说：把字母表全部向右循环移1位，也就是A变成B，B变成C，... ，

Z变成A。

用数学一点的术语我觉得所谓“移位”就是映射吧。

那么我们可以写出通解公式，——现在是已知明文和加密步骤，进行加密，也就是求密文。

New = (Old + k) (mod table)

【2】

注释：

New：要求的密文

Old  ：明文

k ：移位的位数

table：这张表有多大，比方说字母表就是26个字母，table就是26.

2、仿射变换：

移位加密和仿射变换有啥关系呢？

额 ，因为移位加密就是一种放射变换。。。

首先我们在1里面的变量命名现在改一下，以便更好地认识，变成：

y

= (x + b)(mod m) 【3】

是不是和【1】很像啦，可惜我们的x没有系数。。

但是没关系，我们完全可以自己加上一个系数，把【3】变成：

y

= (ax + b)(mod m)   a,b为整数； 【4】

这样已经很像了，只不过【1】里面的自变量是向量。

但是，我们这里讨论的是一维的变换，所以不用用到2维及其以上的向量。(一维数字标记的向量就是普通的数嘛……)

3、知道了1、2这些，我们现在的目标就是——

"当知道一个一维的仿射变换的加密，

a. 怎么把明文加密

b.

怎么把密文解密 "

对于"a.

怎么把明文加密"，我们已经解决了，就是【4】那个公式。

对于"b.

怎么把密文解密"嘛，其实也不复杂。待我不快不慢地说来。

首先由【4】我们可以得到什么？

没错！就是 y

≡ (ax + b)(mod m) —— 这是明显的事实不用证明了。

然后正视一下题目是什么：我们现在已知a,b,y,m，要求x。

1). 左右移位一下 ,变为y-b

≡ (ax)(mod m) 【5】

{为啥【5】是对的？

首先同余式可以相加，

即 若 a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m)， 【*】

那么(a +

c) ≡ (b + d)(mod m) .

——同余式可以相加的证明用同余的定义就好……

然后  y ≡ (ax +

b)(mod m)

-b ≡ -b (mod

m)

所以……

}

2). 已知y-b

≡ (ax)(mod m)，x未知，求x.

现在已知ax ≡(y-b) (mod

m)；

{首先我们要知道 同余式可以相乘，若【*】，则 ac

≡ bd (mod m) .证明同样可以基于同余定义。}

这时候我们就脑补了，如果有一个c能使得

cax ≡ x ≡ c(y-b) (mod m)就好了！

也就是说这个c如果能使得ca = 1或者 更宽一点的：ca ≡ 1(mod

m).那么就解决了！

3). 于是问题变成了：找一个c使得，ca ≡ 1(mod

m)

于是很容易联系到费马小定理、欧拉定理一类的。

但是费马小定理要求m一定要是素数，这样和我们题目不符。

所以看看欧拉定理，对 gcd(a,m) =

1(m>1)，有aΦ(m)≡ 1 (mod m)

{Φ(m) 为欧拉函数，就是小于等于m的与m互素的正整数个数。如Φ(2) = 1

，Φ(6) = 2——6与{1,5}互素。}

所以如果ca

= aΦ(m)，那么就有ca ≡ 1(mod m)。

于是c

= aΦ(m)-1. 但是gcd(a,m) = 1，这一点不能漏。

4、综上，我们发现了，当c

= aΦ(m)-1时 ；

cax ≡c(y-b) (mod m)

化为 x ≡c(y-b) (mod m) {现在要附加gcd(a,m)=1这个条件了！}

5、那么对于仿射变换，

我们知道变化规则[即位移b]后，如何把密文[y]翻译成明文[x]呢？

结论是：

step

1.  求 c

= aΦ(m)-1

step 2.  x ≡c(y-b) (mod m)

番外小剧场：

窝：你在2里面为啥要改名字？该问题纯属好奇！

big窝：此中原因有2——

1. 如文中所说，为了更直观地比较。

2.

也是最根本的原因——变量命名如此之平凡，根本不是我的feel！OK？

窝：......

窝：第二个问题——你怎么知道同余式符合相加相乘原理？你怎么想到的？

big窝：

首先"同余式符合相加相乘原理"这个结论在数论里就像是实数有相加相乘的运算一样自然，如果想不到那么你需要找一本数论的书看看，不需要看完这就足以变成你的常识。至于怎么想到的，如果给你一堆数，你能想到的最基本的运算就是做加减乘除了吧？

窝：恩……好像是的……

big窝：那不就得了，说了同余式符合相加相乘原理是同余式的基本运算。

窝：……哦……

原文：http://www.cnblogs.com/PeanutPrince/p/3543723.html