原标题：Python系列—一笔画问题的算法研究

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0x00 一笔画完游戏

昨天和朋友出去外面吃饭，吃完饭后朋友打开了一个小程序玩了起来。

游戏长这样

大概玩法是：从地图中猫的位置开始出发，并且经过所有的格子就算过关。游戏还算挺有意思的，经过我的不断努力终于过到了30来关的样子。

并且随着游戏关卡的增加。游戏难度也变得越来越大，过一关需要非常久的时间。

最近也正好在研究算法，就打算看能不能写个通用的算法来找出每个地图的解。

0x01 哥尼斯堡的"七桥问题"

这个游戏的玩法和哥尼斯堡的"七桥问题"有点类似。

哥尼斯堡的"七桥问题"：

18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆 地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?

当时人们想到的证明方法是把七座桥的走法都列出来一个一个试验，用排列组合的知识很容易得到七座桥所有的走法大概有7!=5040种，如果真的逐一试验，会是个很大的工作量。

但数学家欧拉没有这样想，欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，七座桥抽象成连接每个顶点的七条边，那么这个问题就能被抽象成下面的图：

假设每座桥都恰好走过一次，那么对于A、B、C、D四个顶点中的每一个顶点，需要从某条边进入，同时从另一条边离开，进入和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进入的边，就有多少条出去的边。也就是说：每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。

很明显，上图中A、C、D三个顶点相连的边都有3条，B顶点的相连边为5条，都是奇数。因此这个图无法从一个顶点出发，且恰好走过每座桥一次。

由此次证明人们又得到了欧拉路关系，要使得一个图形可以一笔画完，必须满足如下两个条件：

图形必须是连通的不能有孤立的点。

图中拥有奇数连接边的点必须是0或2。

对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。

那么这个游戏是不是就是让我们找到一条欧拉路呢?

0x02 对游戏进行抽象

按照上面证明七桥问题的方法，我们可以将游戏的地图抽象成这样：

其中14号顶点为起点

顶点和边的关系在程序中可以刻画成一个二维列表

graph = [

[1, 6], #0

[0, 2], #1

[1, 7, 3], #2

...

[24, 19] #25

]

graph列表的第一层表示每一个顶点，第二层则是与当前顶点有边的顶点，抽象完这张游戏地图后可以很清楚知道，这游戏并不是让我们找到一条欧拉路。

因为找到一条欧拉路，需要的是经过每一座桥，且只经过一次，也就是说每个顶点可以被多次经过。

而这个游戏需要的是经过每一个顶点，并不要求走完每一座桥，且顶点只能被经过一次。

0x03 哈密顿通路

在研究了七桥问题发现并不能解决这类问题后，我开始向团队的表哥们请教，其中一个表哥告诉我此类问题叫做哈密顿图(这里感谢下团队的**@xq17**表哥)。

这里说的哈密顿图，实际上是哈密顿通路的一种特殊情况 ，这种特殊情况指的是：

由指定的起点出发，途中经过所有其他顶点且只经过一次，最后返回起点，称之为哈密顿回路，如果给定的图G具有哈密顿回路，则称图G为哈密顿图。

那么现在目标明确了，这个游戏的解法就是找到某个给定图的哈密顿通路。

但是!!!

但是来了!!!

哈密顿通路问题，在上世纪七十年代初，被证明是NP-hard问题

一个复杂问题如果能在多项式时间内解决，那么它便被称为P类问题

一个复杂问题如果不能确定在多项式时间内解决，那么它便被称为NP类问题

什么意思呢？就拿质因数分解来说吧

P类问题: 23x37=?

NP类问题: 已知 axb=740914799，且a和b都是质数，求a和b的值 让我们来看看这个问题有多复杂：

因为 axb=740914799，且a和b都是质数

设 P={x|2<=x<740914799/2,x是质数}

易得 (a,b)∈PxP 即P与它自身的笛卡尔积

我们用一种叫做筛法的算法来求一下P集合的元素个数

一共有19841519个质数，算了我大概14分钟。

PxP的元素个数一共有19841519^2个，要一个个验证是否等于740914799，无疑又是一项很大的工程，这就是典型的NP类问题。NP类问题虽然难，但是可以很快验证一个给定的答案，是否正确。

比如上面的题，我告诉你答案a=22229 b=33331，你很快就能验证答案是否正确了。

而NP-hard问题则是比NP问题更难的问题，例如：围棋。

也就是说并不能找到一个友好的算法，来解决哈密顿通路问题。

0x04 算法设计

虽然找到一个图的哈密顿通路是NP困难的，但是好在游戏中的顶点不算太多，还是可以使用暴力一点的方法实现的，例如：图的深度优先遍历法(dfs)即递归和回溯法思想。

算法流程：

1. 将当前顶点压入已访问栈和路径栈中

将与当前顶点相通的顶点列出来

随机选取一个相通的顶点 并判断此顶点是否在已访问栈中

A.在已访问栈中则取另一个相通的顶点

B.不在则将这个相通的顶点作为当前顶点

C.若所有相通的顶点都在已访问栈中， 则判断路径栈是否包含所有顶点

a. 路径栈中包含所有顶点，则路径栈为当前图的哈密顿通路

b. 不包含所有顶点则回到父顶点， 并从已访问栈和路径栈中删除

反复执行1~3

0x05 算法实现

上面说过图的顶点和边的关系可以用一个二维列表来描述

graph = [

[1, 6],#0

[0, 2],#1

[1, 7, 3],#2

...

[24, 19]#25

]

但是要手动输入这些顶点和边的关系还是太麻烦了。仔细想了下，如果每个顶点的上下左右有顶点，那么就一定与上下左右的顶点有边，那么这个二维列表就可以简化成：

graph = [

[1,1,1,1,1,1],

[1,0,1,1,0,1],

[1,1,1,1,1,1],

[1,0,1,1,0,1],

[1,1,1,1,1,1],

[0,0,0,0,0,0] #每个1代表一个顶点 1与上下左右的1都有边 与0则没有 长宽相等易于编写代码

]

```

还可以再简化成一维列表：

graph = [

'111111',

'101101',

'111111',

'101101',

'111111',

'000000'

]

简直机智如我啊！

于是我写了个函数对一维列表进行转换

defget_index(i, j, G):

num = 0

forainxrange(i):

num += G[a].count('0')

forb inxrange(j):

ifG[i][b] == '0':

num += 1

returni * len(G) + j - num

defget_graph(G):

G = [list(x) forx inG]

EG = [ ]

fori inxrange(len(G)):

forj inrange(len(G[ i ])):

ifG[ i ][ j ] == '0':

continue

side_list = []

ifj+1<= len(G[i]) - 1:

ifG[i][j+1] == '1':

index = get_index(i, j-1, G)

side_list.append(index)

ifj-1>= 0:

ifG[i][j-1] == '1':

index = get_index(i, j-1, G)

side_list.append(index)

ifi+1<= len(G) - 1:

ifG[i+1][j] == '1':

index = get_index(i+1, j, G)

side_list.append(index)

ifi-1>= 0:

ifG[i-1][j] =='1':

index = get_index(i-1, j, G)

side_list.append(index)

EG.append(side_list)

returnEG

而算法的实现用图的邻接矩阵则更为方便，因此我写了一个将上列二位列表转换成邻接矩阵形式的函数：

defget_matrix(graph):

result = [[0]*len(graph)for _inxrange(len(graph))]# 初始化

fori inxrange(len(graph)):

forj ingraph[i]:

result[i][j] = 1# 有边则为1

returnresult

主要的dfs算法如下：

# graph为图的邻接矩阵 used为已访问栈 path为路径栈 step为已经遍历的顶点的个数

defdfs(graph, path, used, step):

ifstep == len(graph): # 判断顶点是否被遍历完毕

printpath

return True

else:

fori inxrange(len(graph)):

if notused[i] andgraph[path[step-1]][i] ==1:

used[i] = True

path[step] = i

ifdfs(graph, path, used, step+1):

return True

else:

used[i] = False# 回溯 返回父节点

path[step] = -1

return False

defmain(graph, v):

used = [ ] # 已访问栈

path = [ ] # 路径栈

fori inxrange(len(graph)):

used.append(False) # 初始化 所有顶点均未被遍历

path.append(-1) # 初始化 未选中起点及到达任何顶点

used[v] = True# 表示从起点开始遍历

path[0] = v # 表示哈密顿通路的第一个顶点为起点

dfs(graph, path, used, 1)

完整代码

#! /usr/bin/env python

# -*- coding: utf-8 -*-

# Coding with love by Naiquan.

defdfs(graph, path, used, step):

ifstep == len(graph):

printpath

return True

else:

foriinxrange(len(graph)):

if notused[i] andgraph[path[step-1]][i] == 1:

used[i] =True

path[step] = i

ifdfs(graph, path, used, step+1):

return True

else:

used[i] = False

path[step] = -1

return False

defmain(graph, v):

used = [ ]

path = [ ]

fori inxrange(len(graph)):

used.append(False)

path.append(-1)

used[v] =True

path[0] = v

dfs(graph, path, used, 1)

defget_index(i, j, G):

num = 0

fora inxrange(i):

num += G[a].count('0')

forb inxrange(j):

ifG[i][b] =='0':

num += 1

returni * len(G) + j - num

defget_graph(G):

G = [list(x) forx inG]

EG = []

fori inxrange(len(G)):

forj inrange(len(G[i])):

ifG[i][j] == '0':

continue

side_list = []

ifj+1<= len(G[i]) - 1:

ifG[i][j+1] == '1':

index = get_index(i, j+1, G)

side_list.append(index)

ifj-1>= 0:

ifG[i][j-1] == '1':

index = get_index(i, j-1, G)

side_list.append(index)

ifi+1<= len(G) -1:

ifG[i+1][j] == '1':

index = get_index(i+1, j, G)

side_list.append(index)

ifi-1>=0:

ifG[i-1][j] == '1':

index = get_index(i-1, j, G)

side_list.append(index)

EG.append(side_list)

returnEG

defget_matrix(graph):

result = [[0]*len(graph) for_ inxrange(len(graph))]

fori inxrange(len(graph)):

forj ingraph[i]:

result[i][j] =1

returnresult

if__name__ == '__main__':

map_list = [

'111111',

'101101',

'111111',

'101101',

'111111',

'000000'

]

G = get_graph(map_list)

map_matrix = get_matrix(G)

# print map_matrix

SP = 14

main(map_matrix, SP)

0x06 结束

在实现了功能后，我拿着这个程序成功过到了差不多一百关，然后就玩腻了，哈哈哈哈哈哈哈哈哈

0x07 本文参考资料

1. 七桥问题_百度百科

【https://baike.baidu.com/item/七桥问题/2580504?fr=aladdin】

2. 哈密顿图_百度百科

【https://baike.baidu.com/item/哈密顿图/2587317?fr=aladdin】

3. 这个数学题我做可以，但世界毁灭了别怪我【https://www.bilibili.com/video/av19009866】

4. 基于回溯法寻找哈密顿回路

【http://www.cnblogs.com/cielosun/p/5654577.html】返回搜狐，查看更多

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