Exact Low-Rank Matrix Completion from Sparsely Corrupted Entries Via Adaptive Outlier Pursuit

在测量中无法有效处理随机值的噪声，这篇文章提出一种鲁棒方法的异常值处理方法，用来处理测量值中部分值被异常值毁坏的情况。这种方法可以准确的识别异常值的位置，并且使用正确的值来替代异常值。

1 介绍

略

2算法描述

假设秩r是已知的，大量的实验证明，当秩为已知情况下，（1.6）可以很好地处理矩阵补全问题。缺点是（U,W）并不是唯一的，在实际问题中，对于r*r矩阵A，（(UA, A−1W)）是另一种解决问题。许多学者已经对这个模型进行提升修改【2.9.10.18.19.23.26】

【3】结合上述问题提出RTRMC：

r是给定的秩，U是任一矩阵，他的行空间u属于格拉斯曼流形，在观测中Cij>0，λ是权重参数。使用黎曼信赖域方法来解决格拉斯曼流形的优化问题。数据实验显示，RTRMC比其他方法在大规模数据上有更好的效果，并且在长方矩阵十分有效并且会达到一个很小的相对误差。

然而在数据中存在稀疏随机值噪声是，测量结果不准确，为了克服这个问题，适应性的找到错误的位置并重建矩阵可以结合起来例如【29,30】，我们定义K为矩阵中的异常值数量，模型如下：

其中Λ ∈ Rm×n是一个二元矩阵，代表正确数据：

模型更新为：

为了解决非凸问题，我们使用最小二乘解决上述问题，可以将问题分成两步：

固定Λ更新U,W，需要最小化，可以通过RTRMC解决

固定U，W更新Λ,需要解决的问题是：

识别异常值的主要判别为

如果第K和第K+1的值相同，那么我们选择任意Λ，例如并且

3 比较2.4和2.9

2.4

如果存在矩阵的一部分（L,S）满足，那么我们可以定义，

如果Λi, j = 0,我们有Mij=Lij+Sij，如果Λi, j = 1,Mi, j − (Li, j + Si, j ) = Mi, j − Li, j，因此等式改为

从3.2中s和^d的关系，和约束条件，我们知道上述的约束条件可以通过2.4替代。另一方面我们知道任意矩阵L（m*n）并且秩小于r可以被写成两个矩阵UW，全部优化问题等同于其他问题的全部优化问题。当这两个问题是非凸的，其中一个问题的局部优化问题等同于另一个问题的局部优化，然而L的最小化问题仅呗S和…^yueshu .

4 K学习

略

5 数值分析

略

6 结论

略

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