题目

给出一个\(２\times n\)个点的二分图的邻接矩阵\(M\)

以及\(m\)个行替换元，\(k\)个列替换元

\(q\)次询问：op u v 表示用第v个行/列替换元去替换矩阵的第u行/列

对初始以及每个操作矩阵输出完全匹配的方案数mod 2 的值

\(n ,m,k \le 10^3 \ , \ q \le 10^5\)

题解

• 在mod 2 的意义下-1=1，所以完全匹配的方案数=\(det(M)\)

• bitset 暴力高斯消元\(O(q\frac{n^3}{\omega})\)

• 询问相当于每次替换一个行或者列，询问矩阵是否满秩

• 考虑预处理出所有询问的答案

• 由于替换某一行或者列最多使矩阵的秩加减1

• 1.如果原矩阵的秩为\(n\):

  由于矩阵满秩，那么对于每一个\(n\)阶向量都可以被线性表示；

  对于每一个询问预处理出这样的表示，可以替换的就是系数为1的位置　

• 2.如果原矩阵的秩为\(n-1\):

  一定存在并且仅存在一组线性相关的向量，它们的异或和为0向量

  在原来\(n\)个向量中，任意去掉其中的一个都是一个线性无关的组

  对原矩阵消元得到一个基，对一个询问能被线性表出，那么无论如何替换一定不满秩

  否则出现了一个\(n　\)个向量的线性无关组，可以替换的就是最开始存在的线性相关那组向量中的任意一个

• 时间复杂度：\(O(\frac{n^3}{\omega})\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
typedef bitset<1010> Bit;
int n;
char s[N];
Bit a[N],b[N],p[N],q[N],c,ans[2][100000];int gauss(Bit*A,Bit*B){int i=1,j=1;for(;i<=n&&j<=n;++i,++j){int pos=i;while(pos<=n&&!A[pos][j])++pos;if(pos>n){i--;continue;}if(i!=pos)swap(A[i],A[pos]),swap(B[i],B[pos]);for(int k=i+1;k<=n;++k)if(A[k][j])A[k]^=A[i],B[k]^=B[i];}return i<n?0:i==n?2:1;
}void get(int fg,Bit*A,Bit*B,Bit C,Bit&re){int i=1,j=1,pos=0;for(;i<=n&&j<=n;++i,++j){if(!A[i][j]){pos=j,i--;continue;}if(C[j])C^=A[i],re^=B[i];}if(fg==2){if(C.test(pos))re=B[n];else re.reset();}
}int main(){freopen("maze.in","r",stdin);freopen("maze.out","w",stdout);int m,k,Q;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%s",s+1);p[i].set(i);q[i].set(i);for(int j=1;j<=n;++j)if(s[j]=='1')a[i].set(j),b[j].set(i);}int fg=gauss(a,p);gauss(b,q);//printf("%d:\n",fg);scanf("%d%d",&m,&k);for(int i=1;i<=m;++i){scanf("%s",s+1);c.reset();for(int j=1;j<=n;++j)if(s[j]=='1')c.set(j);if(!fg)continue;get(fg,a,p,c,ans[0][i]);}for(int i=1;i<=k;++i){scanf("%s",s+1);c.reset();for(int j=1;j<=n;++j)if(s[j]=='1')c.set(j);if(!fg)continue;get(fg,b,q,c,ans[1][i]);}puts(fg&1?"1":"0");scanf("%d",&Q);for(int i=1,op,u,v;i<=Q;++i){scanf("%d%d%d",&op,&u,&v);printf("%d\n",ans[op][v].test(u));}return 0;
}