最路径问题 Shortest Path

一个节点到另一个节点最短的路径。路径规划问题。

• 路径规划
• 工作任务规划

对于无权图进行广度优先遍历就是求出了一个最短路径。

从起始点到其他节点路径最短的树

无权图的最短路径。

松弛操作。找到更短路径。

dijkstra 单源最短路径算法

前提：图中不能有负权边
复杂度 O( E log(V) )同最小生成树

最小索引堆

从源点能到达的点中最短的路径。
图中不能有负权边

经过2到达1和经过2到达3比原来记录的值小，所以松弛更新。

经过1到4更短

IndexMinHeap

代码实现：

// Dijkstra算法求最短路径
template<typename Graph, typename Weight>
class Dijkstra{private:Graph &G;                   // 图的引用int s;                      // 起始点Weight *distTo;             // distTo[i]存储从起始点s到i的最短路径长度bool *marked;               // 标记数组, 在算法运行过程中标记节点i是否被访问vector<Edge<Weight>*> from; // from[i]记录最短路径中, 到达i点的边是哪一条// 可以用来恢复整个最短路径public:// 构造函数, 使用Dijkstra算法求最短路径Dijkstra(Graph &graph, int s):G(graph){// 算法初始化assert( s >= 0 && s < G.V() );this->s = s;distTo = new Weight[G.V()];marked = new bool[G.V()];for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){distTo[i] = Weight();marked[i] = false;from.push_back(NULL);}// 使用索引堆记录当前找到的到达每个顶点的最短距离IndexMinHeap<Weight> ipq(G.V());// 对于其实点s进行初始化distTo[s] = Weight();from[s] = new Edge<Weight>(s, s, 0);ipq.insert(s, distTo[s] );marked[s] = true;while( !ipq.isEmpty() ){int v = ipq.extractMinIndex();// distTo[v]就是s到v的最短距离marked[v] = true;// 对v的所有相邻节点进行更新typename Graph::adjIterator adj(G, v);for( Edge<Weight>* e = adj.begin() ; !adj.end() ; e = adj.next() ){int w = e->other(v);// 如果从s点到w点的最短路径还没有找到if( !marked[w] ){// 如果w点以前没有访问过,// 或者访问过, 但是通过当前的v点到w点距离更短, 则进行更新if( from[w] == NULL || distTo[v] + e->wt() < distTo[w] ){distTo[w] = distTo[v] + e->wt();from[w] = e;if( ipq.contain(w) )ipq.change(w, distTo[w] );elseipq.insert(w, distTo[w] );}}}}}// 析构函数~Dijkstra(){delete[] distTo;delete[] marked;delete from[0];}// 返回从s点到w点的最短路径长度Weight shortestPathTo( int w ){assert( w >= 0 && w < G.V() );assert( hasPathTo(w) );return distTo[w];}// 判断从s点到w点是否联通bool hasPathTo( int w ){assert( w >= 0 && w < G.V() );return marked[w];}// 寻找从s到w的最短路径, 将整个路径经过的边存放在vec中void shortestPath( int w, vector<Edge<Weight>> &vec ){assert( w >= 0 && w < G.V() );assert( hasPathTo(w) );// 通过from数组逆向查找到从s到w的路径, 存放到栈中stack<Edge<Weight>*> s;Edge<Weight> *e = from[w];while( e->v() != this->s ){s.push(e);e = from[e->v()];}s.push(e);// 从栈中依次取出元素, 获得顺序的从s到w的路径while( !s.empty() ){e = s.top();vec.push_back( *e );s.pop();}}// 打印出从s点到w点的路径void showPath(int w){assert( w >= 0 && w < G.V() );assert( hasPathTo(w) );vector<Edge<Weight>> vec;shortestPath(w, vec);for( int i = 0 ; i < vec.size() ; i ++ ){cout<<vec[i].v()<<" -> ";if( i == vec.size()-1 )cout<<vec[i].w()<<endl;}}
};

main.cpp:

// 测试我们的Dijkstra最短路径算法
int main() {string filename = "testG1.txt";int V = 5;SparseGraph<int> g = SparseGraph<int>(V, true);// Dijkstra最短路径算法同样适用于有向图//SparseGraph<int> g = SparseGraph<int>(V, false);ReadGraph<SparseGraph<int>, int> readGraph(g, filename);cout<<"Test Dijkstra:"<<endl<<endl;Dijkstra<SparseGraph<int>, int> dij(g,0);for( int i = 0 ; i < V ; i ++ ){if(dij.hasPathTo(i)){cout<<"Shortest Path to "<<i<<" : "<<dij.shortestPathTo(i)<<endl;dij.showPath(i);}elsecout<<"No Path to "<<i<<endl;cout<<"----------"<<endl;}return 0;
}

处理负权边

Bellman-Ford 单源最短路径算法

• 如果一个图没有负权环，

• 从一点到另外一点的最短路径，最多经过所有的V个顶线，有V-1条边
• 否则，存在顶点经过了两次，既存在负权环

松弛操作的核心是我们找到了一条边的路径，我们看一下有没有两条边的路径比他权值小。

• 对一个点的一次松弛操作，就是找到经过这个点的另外一条路径，多一条边，权值更小。

• 如果一个图没有负权环，从一点到另外一点的最短路径，最多经过所有的V个顶线，有V-1条边

• 对所有的点进行V-1次松弛操作

• 对所有的点进行V-1次松弛操作，理论上就找到了从源点到其他所有点的最短路径。

• 如果还可以继续松弛，所说原图中有负权环。

// 使用BellmanFord算法求最短路径
template <typename Graph, typename Weight>
class BellmanFord{private:Graph &G;                   // 图的引用int s;                      // 起始点Weight* distTo;             // distTo[i]存储从起始点s到i的最短路径长度vector<Edge<Weight>*> from; // from[i]记录最短路径中, 到达i点的边是哪一条// 可以用来恢复整个最短路径bool hasNegativeCycle;      // 标记图中是否有负权环// 判断图中是否有负权环bool detectNegativeCycle(){for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){typename Graph::adjIterator adj(G,i);for( Edge<Weight>* e = adj.begin() ; !adj.end() ; e = adj.next() )if( from[e->v()] && distTo[e->v()] + e->wt() < distTo[e->w()] )return true;}return false;}public:// 构造函数, 使用BellmanFord算法求最短路径BellmanFord(Graph &graph, int s):G(graph){this->s = s;distTo = new Weight[G.V()];// 初始化所有的节点s都不可达, 由from数组来表示for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ )from.push_back(NULL);// 设置distTo[s] = 0, 并且让from[s]不为NULL, 表示初始s节点可达且距离为0distTo[s] = Weight();from[s] = new Edge<Weight>(s, s, 0); // 这里我们from[s]的内容是new出来的, 注意要在析构函数里delete掉// Bellman-Ford的过程// 进行V-1次循环, 每一次循环求出从起点到其余所有点, 最多使用pass步可到达的最短距离for( int pass = 1 ; pass < G.V() ; pass ++ ){// 每次循环中对所有的边进行一遍松弛操作// 遍历所有边的方式是先遍历所有的顶点, 然后遍历和所有顶点相邻的所有边for( int i = 0 ; i < G.V() ; i ++ ){// 使用我们实现的邻边迭代器遍历和所有顶点相邻的所有边typename Graph::adjIterator adj(G,i);for( Edge<Weight>* e = adj.begin() ; !adj.end() ; e = adj.next() )// 对于每一个边首先判断e->v()可达// 之后看如果e->w()以前没有到达过， 显然我们可以更新distTo[e->w()]// 或者e->w()以前虽然到达过, 但是通过这个e我们可以获得一个更短的距离, 即可以进行一次松弛操作, 我们也可以更新distTo[e->w()]if( from[e->v()] && (!from[e->w()] || distTo[e->v()] + e->wt() < distTo[e->w()]) ){distTo[e->w()] = distTo[e->v()] + e->wt();from[e->w()] = e;}}}hasNegativeCycle = detectNegativeCycle();}// 析构函数~BellmanFord(){delete[] distTo;delete from[s];}// 返回图中是否有负权环bool negativeCycle(){return hasNegativeCycle;}// 返回从s点到w点的最短路径长度Weight shortestPathTo( int w ){assert( w >= 0 && w < G.V() );assert( !hasNegativeCycle );assert( hasPathTo(w) );return distTo[w];}// 判断从s点到w点是否联通bool hasPathTo( int w ){assert( w >= 0 && w < G.V() );return from[w] != NULL;}// 寻找从s到w的最短路径, 将整个路径经过的边存放在vec中void shortestPath( int w, vector<Edge<Weight>> &vec ){assert( w >= 0 && w < G.V() );assert( !hasNegativeCycle );assert( hasPathTo(w) );// 通过from数组逆向查找到从s到w的路径, 存放到栈中stack<Edge<Weight>*> s;Edge<Weight> *e = from[w];while( e->v() != this->s ){s.push(e);e = from[e->v()];}s.push(e);// 从栈中依次取出元素, 获得顺序的从s到w的路径while( !s.empty() ){e = s.top();vec.push_back( *e );s.pop();}}// 打印出从s点到w点的路径void showPath(int w){assert( w >= 0 && w < G.V() );assert( !hasNegativeCycle );assert( hasPathTo(w) );vector<Edge<Weight>> vec;shortestPath(w, vec);for( int i = 0 ; i < vec.size() ; i ++ ){cout<<vec[i].v()<<" -> ";if( i == vec.size()-1 )cout<<vec[i].w()<<endl;}}
};

main.cpp:

// 测试Bellman-Ford算法
int main() {string filename = "testG2.txt";//string filename = "testG_negative_circle.txt";int V = 5;SparseGraph<int> g = SparseGraph<int>(V, true);ReadGraph<SparseGraph<int>, int> readGraph(g, filename);cout<<"Test Bellman-Ford:"<<endl<<endl;BellmanFord<SparseGraph<int>, int> bellmanFord(g,0);if( bellmanFord.negativeCycle() )cout<<"The graph contain negative cycle!"<<endl;elsefor( int i = 1 ; i < V ; i ++ ) {if (bellmanFord.hasPathTo(i)) {cout << "Shortest Path to " << i << " : " << bellmanFord.shortestPathTo(i) << endl;bellmanFord.showPath(i);}elsecout << "No Path to " << i << endl;cout << "----------" << endl;}return 0;
}

运行结果：

用于有向图，因为无向图中一条负权边就等价于两个方向都有，会形成环。

更多和最短路径相关的问题

单源最短路径算法
具体实现，distTo[i] 初始化为“正无穷”

  if( from[e->v()] && (!from[e->w()] || distTo[e->v()] + e->wt() < distTo[e->w()]) ){distTo[e->w()] = distTo[e->v()] + e->wt();from[e->w()] = e;}

利用队列数据结构
queue-based bellman-ford算法

所有对最短路径算法

Floyed算法，处理无负权环的图
O( V^3 )

最长路径算法

最长路径问题不能有正权环。
无权图的最长路径问题是指数级难度的。
对于有权图，不能使用Dijkstra求最长路径问题。
可以使用 Bellman-Ford算法。（取负操作）