【数据结构笔记07】不带头结点链表实现多项式相加、相乘

本次笔记内容：
2.4 多项式的加减运算实现
P24 1.题意理解与多项式表示
P25 2.程序框架及读入多项式
P26 3.加法、乘法运算及多项式输出

文章目录

多项式加法运算
- 采用不带头结点的单项链表实现
- - 算法思路
  - 算法实现
设计函数求两个一元多项式的乘积与和
- 输入样例
- 求解思路
- 多项式表示
- 程序框架搭建
- 如何读入多项式
- 如何实现两多项式相乘
- 多项式输出

多项式加法运算

采用不带头结点的单项链表实现

采用不带头结点的单向链表，按照指数递减的顺序排列各项。

如图三个每个结点中有三个参数：系数、指数、下一结点的指针。

struct PolyNode
{int coef;              // 系数int expon;             // 指数struct PolyNode *link; // 指向下一节点的指针
};
typedef struct PolyNode *Polynomial;
Polynomial P1, P2;

算法思路

用指针P1、P2分别指向这两个多项式的第一个结点，不断循环。
- P1->expon==P2->expon：系数相加，若结果不为0，则作为结果多项式对应项的系数。同时，P1和P2都分别指向下一项；
- P1->expon>P2->expon：将P1的当前项存入结果多项式，并使P1指向下一项；
- P1->exponexpon：将P2的当前项存入结果多项式，并使P2指向下一项；
当某一项多项式处理完时，将另一项多项式的所有结点依此复制到结果多项式中去。

算法实现

Polynomial PolyAdd(Polynomial P1, Polynomial P2)
{Polynomial front, rear, temp;int sum;rear = (Polynomial)malloc(sizeof(struct PolyNode));front = rear;while (P1 && P2){switch (Compare(P1->expon, P2->expon)){case 1:Attach(P1->coef, P1->expon, &rear);// Attach()将系数、指数形成新的项，拷贝到rear的后面P1 = P1->link;break;case -1:Attach(P2->coef, P2->expon, &rear);P2 = P2->link;case 0:sum = P1->coef + P2->coef;if (sum)Attach(sum, P1->expon, &rear);P1 = P1->link;P2 = P2->link;break;}for (; P1; P1 = P1->link)Attach(P1->coef, P2->expon, &rear);for (; P2; P2 = P2->link)Attach(P2->coef, P2->expon, &rear);rear->link = NULL;temp = front; // 把空节点赋给temp，front后移，空节点temp释放掉front = front->link;free(temp);return front;}
}

其中，对Attach()的定义为

void Attach(int c, int e, Polynomial *pRear){Polynomial P;P = (Polynomial)malloc(sizeof(struct PolyNode));P->coef=c;P->expon=e;P->link = NULL;(*pRear)->link = P;*pRear=P;
}

设计函数求两个一元多项式的乘积与和

输入样例

4 3 4 -5 2 6 1 -2 0
3 5 20 -7 4 3 1
第一行，代表第一个多项式有4项，系数指数分别为(,),(,),(,),(,)。

求解思路

多项式的表示
程序框架
读多项式
加法实现
乘法实现
多项式输出

多项式表示

用数组表示：编程简单、调试容易，但是需要事先确定数组大小；
用链表表示：动态性强，变成略微复杂、调试比较困难。

一种比较好的方式是动态数组。但是本次实现还是采用链表。

程序框架搭建

int main()
{读入多项式1读入多项式2乘法运算并输出加法运算并输出return 0;
}

需要设计的函数：

读一个多项式
量多项式相乘
两多项式相加
多项式输出

int main()
{Polynomial P1, P2, PP, PS;P1 = ReadPoly();P2 = ReadPoly();PP = Mult( P1, P2 );PrintPoly( PP );PS = Add( P1, P2 );PrintPoly( PS );return 0;
}

如何读入多项式

Polynomial ReadPoly()
{......scanf("%d", &N);......while(N--){scanf("%d %d", &c, &e);Attach(c, e, &Rear);}......return P;
}

注意将Rear传入Attach()中时，应该采用传址调用。Rear初值设为NULL的话，Attach中要增加关于Rear的判断环节，不妥。因此令Rear指向一个空结点。

Polynomial ReadPoly()
{Polynomial P, Rear, t;int c, e, N;scanf("%d", &N);P = (Polynomial)malloc(sizeof(struct PolyNode));P->link = NULL;Rear = P;while (N--){scanf("%d %d", &c, &e);Attach(c, e, &Rear);}t = P;P = P->link;free(t);return P;
}

如何实现两多项式相乘

将乘法运算转换为加法运算

将P1当前项(ci,ei)乘P2多项式，再加到结果多项式里

t1 = P1; t2 = P2;
P = (Polynomial)malloc(sizeof(struct PolyNode));
P->link = NULL;
Rear = P;
while(t2){Attach(t1->coef*t2->coef, t1->expon+t2->expon, &Rear);t2 = t2->link;
}

逐项插入

将P1当前项(c1_i,e1_i)乘P2当前项(c2_i,e2_i)，并插入到结果多项式中，关键是要找到插入位置。
初始结果多项式可由P1第一项乘P2获得（如上）
逐项插入的实现框架如下

Polynomial Mult(Polynomial P1, Polynomial P2){......t1=P1;t2=P2;......while (t2)  /* 先用P1的第1项乘以P2，得到P */{......}t1 = t1->link;while (t1){t2 = P2;Rear=P;while(t2){e=t1->expon+t2->expon;c=t1->coef*t2->coef;......t2=t2->link;}t1=t1->link;}......
}

具体实现如下

Polynomial Mult(Polynomial P1, Polynomial P2)
{Polynomial P, Rear, t1, t2, t;int c, e;if (!P1 || P2)return NULL;t1 = P1;t2 = P2;P = (Polynomial)malloc(sizeof(struct PolyNode));P->link = NULL;Rear = P;while (t2) /* 先用P1的第1项乘以P2，得到P */{Attach(t1->coef * t2->coef, t1->expon + t2->expon, &Rear);t2 = t2->link;}t1 = t1->link;while (t1){t2 = P2;Rear = P;while (t2){e = t1->expon + t2->expon;c = t1->coef * t2->coef;while (Rear->link && Rear->link->expon > e){Rear = Rear->link;}if (Rear->link && Rear->link - expon == e){if (Rear->link->coef + c)Rear->link->coef += c;else{ // 如果系数相加等于0，删去这个结点t = Rear->link;Rear->link = t->link;free(t);}}else{ // 如果指数不相等，即小于的情况，申请新结点t = (Polynomial)malloc(sizeof(struct PolyNode));t->coef = c;t->expon = e;t->link = Rear->link;Rear->link = t;Rear = Rear->link;}t2 = t2->link;}t1 = t1->link;}t2 = P;P = P->link;free(t2);
}

多项式输出

实际上是一个链表的遍历问题，链表遍历的基本框架如下

void PrintPoly(Polynomial P){while(P){P = P->link;}
}