初中数学有理数计算

数学试卷发下来后，经常听到有同学这样说，“我就是太粗心”…

然而，老师却回复了一句，“我不相信关于粗心的任何解释”！因为任何的粗心都是有清楚原因的…

那么“计算粗心”的原因在哪里？

答案是，往往我们在做计算题时一心二用或者是根本没有掌握该知识点。

当一个“丰满”的计算题摆在我们面前时，很多同学是蒙的，面对题目没有明确的解题思路，然后就开始凭感觉发挥：

“恩，把那个简单约分先约一下”

“等等，把那个-2的平方也先求出来”

“诶？顺手把这个小括号去了吧！”

经过这样一通操作后，结果往往就是：

(1)做对了，说明当时状态良好，每一个小计算都没出问题

(2)做错了，出错位置完全随机，出错时自己也完全无意识

而如果长期以往都是这样的方式来做有理数的混合计算，那么我们的计算今后就会近似一个“随机对错”问题：

因为对了不知道为什么对，错了也不知道为什么错，只好说粗心了或没粗心。

那么能保证计算结果稳定，过程有章可循的正解是什么？

答案是，认清六大易错步骤，熟练最优处理流程。

其实关于有理数混合运算，99%的出错步骤只有以下这⑦种：

(1)绝对值部分的单独求值；

(2)乘方部分的单独求值；

(3)带分数变假分数时的分子部分计算；

(4)除法变乘法时的取倒数计算；

(5)连乘计算部分的乘积符号问题；

(6)纯加减计算时“减号”和“负号”的清楚辨认；

(7)去括号时，前面的正负号看不清楚

那么下面的问题就是，这7大Boss并存时，计算的优先级是什么呢？

其实按照上面的排序就是容错率最高的计算步骤！也就是：

第一顺位：绝对值部分的单独求值，复杂的就拖到草稿纸上单挑…

第二顺位：乘方部分的单独求值，复杂的就拖到草稿纸上单挑…

第三顺位：带分数变假分数时的分子部分计算，复杂的就拖到草稿纸上单挑…

第四顺位：除法变乘法时的取倒数计算，只要注意负数的取倒数问题即可…

第五顺位：连乘计算部分的乘积符号问题，复杂的就拖到草稿纸上单挑…

第六顺位：纯加减计算时“减号”和“负号”的清楚辨认，想不出错，永远先把所有减法变加法再求合体…

第七顺位：去括号时，一定要看清楚前面为负号时的计算，括号里的每一项都要变号，并且要单独做一步！

计算不出错的同学，生活上的种种行为也有过人之处，他们讲话时逻辑清晰，语言精炼，在平常的生活中做任何事的步骤也会是有条不紊。这个计算法则，希望同学们能好好掌握！

有理数考点

有理数：

①整数→正整数/0/负整数

②分数→正分数/负分数

数轴：

①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。

④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

绝对值：

①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算：

加法：

①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加不变。

减法：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：

①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘得0。

③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：

①除以一个数等于乘以一个数的倒数。

②0不能作除数。

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。

混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

有理数最易错的8个习题

1.正负1型绝对值化简

2.绝对值与正负

3.绝对值条件分析

4.数轴上的绝对值化简

5.有理数计算

6.有理数计算

7.有理数混合运算

8.有理数计算

数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.

01

用数形结合的思想解题可分两类

(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；

(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.

02

热点内容

在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.

【典型例题】

类型一、利用数形结合探究数字的变化规律

1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是         ．

【思路点拨】

首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是

(n+1)(n+2)-(n+2)=n2+2n．

【答案与解析】

第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋(2×3-3)个；

第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子(3×4-4)个；
  第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子(4×5-5)个；
  按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是(n+1)(n+2)-(n+2)=n(n+2).
  故答案为n(n+2)=n2+2n.

【总结升华】

这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.

举一反三：

【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．

【答案】

解：设第n个图形的棋子数为．

第1个图形，S1=1；

第2个图形，S2=1+4；

第3个图形，S3=1+4+7；

第n个图形，Sn=1+4+…+3n-2；

第(n-1)个图形，Sn-1=1+4+…+[3(n-1)-2]；

则第n个图形比第(n-1)个图形多(3n-2)枚棋子．

类型二、 利用数形结合解决数与式的问题 

2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 (　　).

A.a+c       B.-a-2b+c

C.a+2b-c      D.-a-c

【思路点拨】

首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b＞0，c-b＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果． 具体步骤为：① a,b,c的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部(二次根式中的被开方数的底数)的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果.

【答案与解析】

解：从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，

故a+b＞0，c-b＜0，

即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c．

故选A．

【总结升华】

此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值(|a|)，完全平方式(a±b)2，二次根式.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.

类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题

3. 图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是(    )

A. 

B.

C.

D.

【思路点拨】

这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为(m+n)的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积(m2+n2)，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．

【答案】B.

【解析】(m+n)2-(m2+n2)=2mn．

故选B．

【总结升华】

本题是利用几何图形的面积来验证(m+n)2-(m2+n2)=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．

举一反三

【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．
(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？
(2)请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；

(3)观察图2，你能写出下列三个代数式：(m+n)2、(m-n)2、mn之间的关系吗？  

【答案】

解：(1)图②中阴影部分的正方形的边长等于(m-n)；
   (2)(m-n)2；(m+n)2-4mn；
   (3)(m-n)2=(m+n)2-4mn．

类型四、利用数形结合思想解决极值问题

4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大(小)值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大(小)值问题．请你尝试解决一下问题：

(1)在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 _____.

(2)在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸(近似看做直线CD)的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，

请你：

①作图确定水塔的位置；
  ②求出所需水管的长度(结果用准确值表示).
(3)已知x+y=6，求 的最小值？

此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：

①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.
②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____.
③的最小值即为线段___和线段_____长度之和的最小值，最小值为 ___

．

【思路点拨】

(1)利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；

(2)

①延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD于点P，则点P即为所求；
②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，进而利用勾股定理求出即可；

(3)

①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，
②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y；
③的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，最小值利用勾股定理求出即可.

【答案与解析】

(1)抛物线所对应的二次函数的最大值是4；

(2)

①如图所示，点P即为所求．
(作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD于点P，则  点P即为所求.

说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；(延长BD，同样的方法也可以得到P点的位置．)

②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD

都是矩形．
∴FD=AC=CE=DG=1，

EG=CD=AF．                    
∵AB=3，BD=2，
∴BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，
∴在Rt△ABF中，AF2=AB2-BF2=8，
∴AF=2   EG=2.

∴在Rt△BEG中，BE2=EG2+BG2=17，

∴BE=(cm).
∴PA+PB的最小值为cm.
即所用水管的最短长度cm.

(3)图3所示，

①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，

②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，
③的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，

∴作C点关于线段AB的对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交BD延长线于点E，
∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，
∴DE=8，
..

∴最小值为10．

故答案为：①4； ②x，y； ③PC，PD，10．

【总结升华】

此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键．

作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.

类型五、利用数形结合思想，解决函数问题

5.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象过点(-1,2)和(1,0),且与y轴相交与负半轴.以下结论(1)a＞0；(2)b＞0；(3)c＞0；(4)a+b+c=0；(5)abc<0；(6)2a+b＞0;(7)a+c=1；(8)a＞1中,正确结论的序号是___________.

【思路点拨】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【答案与解析】

解：①由抛物线的开口方向向上，可推出a＞0，正确；

②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=＞0，又因为a＞0，∴b＜0，错误；
③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误；
④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确；

⑤∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误；
⑥由图象可知：对称轴x=＞0且对称轴x=＜1，∴2a+b＞0，正确；
⑦由图象可知：当x=-1时y=2，∴a-b+c=2，  ---①

当x=1时y=0，∴a+b+c=0，   ---②

①+②，得

2a+2c=2，解得  a+c=1，正确；
⑧∵a+c=1，移项得a=1-c，又∵c＜0，∴a＞1，正确．
故正确结论的序号是①④⑥⑦⑧．

【总结升华】

考查二次函数的解析式、图象，及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力．

二次函数y=ax2+bx+c图象与系数之间的关系：
(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．存在着“左同右异”，即a,b同号.对称轴在y轴的左边，a,b异号，对称轴在y轴的右边.
(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
(4)b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．

(5)当x=±1时，ax2+bx+c就变成了a±b+c了.这道题的第7小题：当x=1时，a+b+c=0……①

当x=-1时，a-b+c=2……②,①+②得，2a+2c=2，即a+c=1.

举一反三

【变式】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，x=是该抛物线的对称轴．根据图中所提供的信息，请你写出有关a，b，c的四条结论，并简单说明理由．

【答案】

解：①∵开口方向向上，∴a＞0，

②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，

③∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，

④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，

⑤当x=1时，y=a+b+c＜0，

⑥当x=-1时，y=a-b+c＞0．

结论有：a＞0，b＜0，c＜0，a+b+c＜0，a-b+c＞0等

数与式

易错点1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。以及绝对值与数的分类。每年选择必考。

易错点2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。

易错点3：平方根、算术平方根、立方根的区别。填空题必考。

易错点4：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零。

易错点5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化。当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。填空题必考。

易错点6：非负数的性质：几个非负数的和为0，每个式子都为0；整体代入法；完全平方式。

易错点7：计算第一题必考。五个基本数的计算：0 指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。

易错点8：科学记数法。精确度，有效数字。这个上海还没有考过，知道就好！

易错点9：代入求值要使式子有意义。各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。

方程(组)与不等式(组)

易错点1：各种方程(组)的解法要熟练掌握，方程(组)无解的意义是找不到等式成立的条件。

易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0 的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。(消元降次)主要陷阱是消除了一个带X 公因式要回头检验！

易错点3：运用不等式的性质３时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。

易错点4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。

易错点5：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。

易错点6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。

易错点7：不等式(组)的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。

易错点8：利用函数图象求不等式的解集和方程的解。

函数

易错点1：各个待定系数表示的的意义。

易错点2：熟练掌握各种函数解析式的求法，有几个的待定系数就要几个点值。

易错点3：利用图像求不等式的解集和方程(组)的解，利用图像性质确定增减性。

易错点4：两个变量利用函数模型解实际问题，注意区别方程、函数、不等式模型解决不等领域的问题。

易错点5：利用函数图象进行分类(平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形)以及分类的求解方法。

易错点6：与坐标轴交点坐标一定要会求。面积最大值的求解方法，距离之和的最小值的求解方法，距离之差最大值的求解方法。

易错点7：数形结合思想方法的运用，还应注意结合图像性质解题。函数图象与图形结合学会从复杂图形分解为简单图形的方法，图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据。

易错点8：自变量的取值范围有：二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0，0指数底数不为0，其它都是全体实数。

三角形

易错点1：三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。

易错点2：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。最短距离的方法。

易错点3：三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。

易错点4：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合。边边角两个三角形不一定全等。

易错点5：两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。

易错点6：等腰(等边)三角形的定义以及等腰(等边)三角形的判定与性质，运用等腰(等边)三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。

易错点7：运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。

易错点8：将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法。

易错点9：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。

易错点10：直角三角形判定方法：三角形面积的确定与底上的高(特别是钝角三角形)。

易错点11：三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值。

四边形

易错点1：平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用。三角形的稳定性与四边形不稳定性。

易错点2：平行四边形注意与三角形面积求法的区分。平行四边形与特殊平行四边形之间的转化关系。

易错点3：运用平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分。对角线将四边形分成面积相等的四部分。

易错点4：平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，突出转化思想的渗透。

易错点5：矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算。矩形与正方形的折叠。

易错点6：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，掌握其中的不变与旋转一些性质。

易错点7：梯形问题的主要做辅助线的方法

圆

易错点1：对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，两条弦之间的距离也要考虑两种情况。

易错点2：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题。

易错点3：对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种方法使用不熟练。

易错点4：考查圆与圆的位置关系时，相切有内切和外切两种情况，包括相交也存在两圆圆心在公共弦同侧和异侧两种情况，学生很容易忽视其中的一种情况。

易错点5：与圆有关的位置关系把握好d 与R和R+r，R-r 之间的关系以及应用上述的方法求解。

易错点6：圆周角定理是重点，同弧(等弧)所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，90 度的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

易错点7：几个公式一定要牢记：三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆的面积公式，圆周长公式，弧长，扇形面积，圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转化关系。

对称图形

易错点1：轴对称、轴对称图形，及中心对称、中心对称图形概念和性质把握不准。

易错点2：图形的轴对称或旋转问题，要充分运用其性质解题，即运用图形的“不变性”，在轴对称和旋转中角的大小不变，线段的长短不变。

易错点3：将轴对称与全等混淆，关于直线对称与关于轴对称混淆。

统计与概率

易错点1：中位数、众数、平均数的有关概念理解不透彻，错求中位数、众数、平均数。

易错点2：在从统计图获取信息时，一定要先判断统计图的准确性。不规则的统计图往往使人产生错觉，得到不准确的信息。

易错点3：对普查与抽样调查的概念及它们的适用范围不清楚，造成错误。

易错点4：极差、方差的概念理解不清晰，从而不能正确求出一组数据的极差、方差。

易错点5：概率与频率的意义理解不清晰，不能正确的求出事件的概率。

易错点6：平均数、加权平均数、方差公式，扇形统计图的圆心角与频率之间的关系，频数、频率、总数之间的关系。加权平均数的权可以是数据、比分、百分数还可以是概率(或频率)。

易错点7：求概率的方法：

(1)简单事件。

(2)两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值。

(3)复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。

易错点8：判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合。

刚定！2022年前普通高中全面实施新课程、使用新教材！

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