无限循环小数化分数、

循环小数分为混循环小数、纯循环小数两大类。

混循环小数可以*10^n（n为小数点后非循环位数），所以循环小数化为分数都可以最终通过纯循环小数来转化。

等比数列法编辑

无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。

例如：0.333333……

循环节为3

则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……

前n项和为：0.3(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)

当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0

因此0.3333……=0.3/0.9=1/3

注意：m^n的意义为m的n次方。

再如：0.999999.......

循环节为9

则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……

前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)

当n趋向无穷时（0.1）^n=0

因此：0.99999.....=0.9/0.9=1

解方程法编辑

无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数

纯小数纯循环小数

例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：

10x-x=1.1111……-0.1111……

9x=1

X=1/9

例：0.999999.......=1

设x=0.9999999......

10x-x=9.999999.....-0.999999.....

9x=9

x=1

关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。

例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：

解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，

即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，

将（2式）中的无限循环小数0.26(··)更换为X得：100x=26+X，

100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99

例：将无限循环小数0.123(··)化成分数：

解题：已知无限循环小数0.123(··)，将已知无限循环小数0.123(··)的未知分数设为X，

即0.123(··)= X ——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123(··))，

1000X=123+0.123(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.123(··)更换为X得：

1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，

∴X=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333

归纳

为了公式化，我们可以这样表示：

x·10∧b－x ，其中b是循环节的位数。这适合所有纯循环小数

混循环小数

例：0.12111…… 1的循环，同样，我们设此小数为x，可得：

1000x-100x=121.111……-12.111……

900x=109

X=109/900

例：将无限循环小数0.123(·)化成分数：

解题：已知无限循环小数：0.123(·)，将已知无限循环小数0.123(·)的未知分数设为X,

∴X=0.123(·)——1式，（1式）两边同时乘以10得：

10X=1.23(·)——2式，（2式）-（1式）得：9X=1.11，X =1.11/9，

X =0.37/3，X =37/300，∴X=0.123(·)=37/300，即：0.123(·)=37/300

归纳

它的公式是：

X·10∧（a+c）-x·10∧a，这里的a是小数点后的循环节前的数字的位数，c代表循环节位数。

带小数也适用！！

差异

纯循环小数和混循环小数在化分数时公式存在差异，但理论上X·10∧（a+c）-x·10∧a适用于全部循环小数。因为无限不循环小数（无理数）无公度比，因此无限不循环小数（无理数）不能化成分数形式、即不能表达为n/m的形式，…。

套公式法编辑

纯循环

用9做分母，有多少个循环数就几个9，比如0.3，3的循环就是9分之3，0.654，654的循环就是999分之654， 0.9，9的循环就是9分之9（1），以此类推。

混循环

先来看几个例子

例：把混循环小数0.228˙化为分数：

解：0.228˙

=[（228/1000）+8/9000）]

=228/（900+100）+8/9000

=[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）

=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）]

=（228/900）-（22/900）

=（228-22）/900

=206/900

=103/450；

例：把混循环小数0.123˙68˙化成分数：

解：0.123˙68˙=(0.12368+0.00000˙68˙)

=(12368/100000)+（68/9900000）

=[（12368/99000）-（12368/990000）]+（68/9900000）

=（12368/99000）+[（68/9900000）-（12368/9900000）]

=（12368/99000）-（12300/9900000）

=(12368-123)/99000

公式

用9和0做分母，首先有一个循环节有几位数字就几个9，接着有几个没加入循环的数就加几个0，再用第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差做分子，比如0.43，3的循环，有一位数没加入循环，就在9后面加一个0做分母，再用43减4做分子，得 90分之39，0.145，5的循环就用9后面加2个0做分母，再用145减14做分子，得900分之131，0.549，49的循环，就用99后面加1个0做分母，用549减5做分子，最后得990分之545，以此类推，能约分的要化简。

其他小数编辑

1、有限小数化成分数：分母的首位数是1后面是0，0的个数与小数位数的个数相同，分子是把有限小数取作整数，把小数点右边的数看作整数作为分子，但不包括小数点右边十分位、百分位、千分位，...上的0，能约分的要化简，譬如：将0.678化为分数，即678/1000=339/500，0.1681=1681/10000，0.087=87/1000，0.0078=78/10000=39/5000，...；

2 、带小数（混小数）化成分数：

譬如：将2.18化成分数，解：因为2.18=2+0.18，所以，2.18=2+0.18=2+（18/100）=2+（9/50）=109/50，把3.1415化成分数，∵3.1415=3+0.1415，∴3.1415=3+（1415/10000）=3+（283/2000）=6283/2000，等等以此类推，能约分的一定要化简；

3 、负小数化成分数其法则、方法与以上相同：

譬如：-0. ˙186˙=-186/999=-62/333，-0.0˙87˙=-87/990=-29/330，-0.5678=-5678/10000=-2839/5000，等等依次类推，能约分的一定要化为最简分数。

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