单精度浮点数的数学计算

加减法：

一.将十进制数变为二进制数

十进制的小数转换为二进制，主要是小数部分乘以2，取整数部分依次从左往右放在小数点后，直至小数点后为0。例如十进制的0.125，要转换为二进制的小数。
举例：
0.125（十进制变为二进制）
将小数部分0.125乘以2，得0.25，然后取整数部分0
再将小数部分0.25乘以2，得0.5，然后取整数部分0
再将小数部分0.5乘以2，得1，然后取整数部分1
则得到的二进制的结果就是0.001

二.把二进制数变为浮点数源

先将十进制转换后的二进制数调整尾数，比如：11.1001应该变成1.11001E+1。

三.套入单精度-默认空壳中

带入下图的单精度浮点数的空壳中，如上例中，符号位为0，价码为 0b01111111 + (E+1) = 0b10000000 ，尾数为11001。

     符号位             价码              尾数
A       【31】            【30:23】           【22:0】
B       【31】            【30:23】           【22:0】

四.操作数预处理

定义rA，rB把A和B中的数据存入，如图所示

      符号位[56]    价码[55:48]    隐藏位[47:46]   尾数[45:23]    尾数补偿[22:0]
rA      A[31]          A[30:23]      01           A[22:0]             23'd0
rB      B[31]          B[30:23]      01           B[22:0]             23'd0

五.价码对齐

设置寄存器rExp和rExpDiff。rExp = A[30:23] - B[30:23]; rExpDiff存rExp的正值。
寄存器 rExp 和 rExpDiff 均为 10 位，rExp 寄存 A 与 B 的价码差；rExpDiff 则寄存相差位数。寄存器 rExp 之所以要声明为 10 位位宽，是为了判断价码差的符号位。如果 rExp[8]为 1 的话，说明价码差位负值，换句话说 A 的价码小于 B；如果 rExp[8]为 0，说明 A 的价码大于还是等于 B。
if( rExp[8] == 1) 表示 A 的价码小于 B 的价码，所以 A 必须向 B 对齐，rA 的尾数（包括补偿尾数）即 rA[47…0] 向右移 rExpDiff 位。然后 rA 的价码即，rA[55:48]赋予 rB 的价码。
反之 B 必须向 A 对齐，rB 包括补偿尾数移动 rExpDiff 位（rB[47:0]>>rExpDiff），然后 rB 的价码赋予 rA 的价码（rB[55:48]<< rA[55:48]）。

六.尾数运算预处理

未执行加减运算之前，我们还要根据 rA 和 rB 的符号位，把 rA 和 rB 的尾数（包括尾数补偿）转换成补码与否。

           位【48】                      位【47:0】
TempA         rA【56】                 rA【47:46】（隐藏位） rA【46:0】
TempB         rA【56】                 rB【47:46】（隐藏位） rB【46:0】

需要对TempA和TempB进行补码转化。

七.加减法操作

Temp <= TempA + TempB，如图所示

八.结果预处理

isSign 赋予 Temp[48]，Temp[48]则是加减结果的符号位。然后判断 Temp[48]的符号位，如果为 1 的就正直化结果。最后更新 rExp 为 rA 的价码 (rB 的价码也是等价)。

           位【9:8】                             位【7:0】
rExp            00                              rA【55:48】 （价码）

九.结果调整

假定小数点Temp【47:46】.Temp【45:23】
调整过程如图所示：

除了结果的隐藏位为 2’b01 以外，其外都需要调整：
如果结果的隐藏位为 2’b11 那么尾数需右移 1 位，然后价码加 1；
如果结果的隐藏位为 2’b10 那么尾数需右移 1 位，然后价码加 1；
如果结果的隐藏位为 2’b00，但是第 45 位为 1，那么需尾数左移 1 位，然后价码减 1;
如果结果的隐藏位为 2’b00，但是第 44 位为 1，那么需尾数左移 2 位，然后价码减 2;
如果结果的隐藏位为 2’b00，但是第 43 位为 1，那么需尾数左移 3 位，然后价码减 3;
…
如果结果的隐藏位为 2’b00，但是第 24 位为 1，那么尾数需左移 22 位，然后价码减 22;
如果结果的隐藏位为 2’b00，但是第 23 位为 1，那么尾数需左移 23 位，然后价码减 23。

这个过程中会对价码进行改变，后面输出和格式需要进行判断

十.输出格式化

1.价码溢出
假设 rExp[9:8]为 2’b00，即表示价码没有溢出；
rExp[9:8]为 2’b01，即表示价码为上溢；
rExp[9:8]为 2’b11，即表示价码为下溢。
2.尾数零值
尾数零值仅是一个假想的错误状态，一般上单精度的浮点数无法表示 0 值，0 值在浮点数中表示无穷大。尾数零值还有另一个可能是：当浮点数执行运算过后可能会发生尾数全零的状态，举个例子 1.5E+2 减 1.5E+2。
除此之外，当运算结果使得精度非常非常小的时候，甚至超过单精度可以曾受的范围之内，我们也可以看成是尾数零值。
3.四舍五入
对于 2 进制来说四舍五入等价于“0 舍 1 入”。

如果 Temp[22]的值是 1 的话，那么 Temp[45…23]就加1，反之不然。

            位【31】          位【30:23】      位【22:0】
rResult        isSign         rExp【7:0】(价码)       尾数

十一.单精度浮点数转换为二进制数

1、分割数字的符号、阶码和有效数字；
2、将偏移阶码减去偏移，得到真正的阶码；
3、把数字写成规格化的二进制数形式

举个例子：
结果调整后：
Temp(A+B后的)=0 01 11100000000000000000000（经过了取反）
符号位为1，隐藏位为01，价码为10000000
所以：
rResult=32’b1_10000000 11100000000000000000000
还原阶码：10000000 – 01111111＝1
该浮点数的二进制规格化形式：1.111×E1 (其中前面的“1.”从隐含位而来)

十二.二进制数转换为十进制

1、把规格化的二进制数改变成非规格化的二进制数；
2、把非规格化的二进制数转换成十进制数。
二进制为1.111×E1
尾数调整后，非规格化二进制数为：11.11
小数点前转化为：1+12=3
小数点后转化为：11/2+1*1/4=0.75
由于符号位为1
所以结果为-3.75

乘法：

一.操作数预处理

      位【32】   位【31:24】  位【23】 位【22:0】
rA        A【31】  A【30:23】      1     A【22:0】
rB        B【31】    B【30:23】      1     B【22:0】

rA<= {A[31],A[30:23], 1’b1,A[22:0]};
rB<= { B[31], B[30:23], 1’b1, B[22:0]}

A,B与加法中一致

二.符号位运算

符号位的运算可以用亦或取得。

isSign <=A[31] ^ B[31];

三.移位预操作

根据某个“特殊条件”，把操作数 B 的小数点左移 1 位，然后价码递增 1，在移位过程中包括隐藏位。
特殊条件：操作数组价码等价，但是双反尾数同不等于 0

if(rA[31:24]==rB[31:24]&&(rA[22:0]!=23'd0&rB[22:0]!=23'd0))beginrB[31:24]<=rB[31:24]+1'b1;rB[23:0]<=rB[23:0]>>1;end

四.价码和尾数运算

价码相加，尾数相乘，因为指数需要相加

BDiff= rB[31:24] - 8'd127; // + (~8'd127 + 1)
rExp <= rA[31:24] + BDiff;//A.Exp + B.Exp
Temp <= rA[23:0] * rB[23:0];

五.结果调整

Temp为【47:0】,没有符号位

begin if(Temp[47]==1'b1)beginTemp<=Temp;end elseif(Temp[46]==1'b1)beginTemp<=Temp<<1;end elseif(Temp[45]==1'b1)beginTemp<=Temp<<2;rExp<=rExp-1'b1;end
end

这里需要注意的是价码的改变，并且调整范围没有加减运算的大。

六.输出和格式化

在这个步骤中，我们同样要检查价码溢出或者尾数零值等错误信息以外，我们要四舍五入尾数的结果。

begin if( rExp[9:8] == 2'b01 ) begin isOver <= 1'b1; rResult <= {1'b0,8'd127, 23'd0}; end  // E Underflowelse if( rExp[9:8] == 2'b11 ) begin isUnder <= 1'b1; rResult <= {1'b0, 8'd127, 23'd0}; end // E Underflow else if(Temp[47:24] == 24'd0 ) begin isZero <= 1'b1; rResult <= {1'b0, 8'd127, 23'd0}; end // M Zero else if(Temp[23] == 1'b1 ) rResult <= { isSign, rExp[7:0],Temp[46:24] + 1'b1 }; else rResult <= { isSign, rExp[7:0], Temp[46:24] };
end

除法

一.操作数预处理

      位【32】   位【31:24】  位【23】 位【22:0】
rA        A【31】  A【30:23】      1     A【22:0】
rB        B【31】    B【30:23】      1     B【22:0】

rA<= {A[31],A[30:23], 1’b1,A[22:0]};
rB<= { B[31], B[30:23], 1’b1, B[22:0]}

二.运算

操作数 A 的尾数左移24位，操作数B的尾数右移24位，对于单精度格式的来说这种程度的马力已经足够满足运算。

begin isSign<=A[31]^B[31];BDiff=rB[31:24]-8'd127; rExp<=rA[31:24]-BDiff;Temp<={rA[23:0],24'd0}/{24'd0,rB[23:0]};
end

三.结果调整

如果操作数为24位，马力为24档位，左移23位的话，价码不变化，左移24位，价码减1。

beginif(Temp[25]==1'b1)beginTemp<=Temp<<22;end elseif(Temp[24]==1'b1)beginTemp<=Temp<<23;end elseif(Temp[23]==1'b1)beginTemp<=Temp<<24;rExp<=rExp-1'b1;end
end

四.输出格式化

在输出和格式化这个步骤中，浮点乘法和浮点除法的内容基本上是大同小异，因为浮点除法和浮点乘法都一样，我们“假定”小数点介于 Temp[47]-Temp[46]之间。不过有一点读者会吓到的是，浮点除法少了四舍五入这个操作，为什么呢？有两种原因，第一个原因是经过结果调整以后,Temp[23]~Temp[0] 很大可能是全零。另一个原因是，在尾数运算途中保护精度的措施已经最大发挥了，所以四舍五入操作显得有点鹌鹑，因此就被节了。

beginif(rExp[9:8] == 2'b01 )begin isOver <= 1'b1; rResult <= {1'b0,8'd127, 23'd0}; end else if(rExp[9:8] == 2'b11) begin isUnder <= 1'b1; rResult<= {1'b0, 8'd127, 23'd0}; end else if(Temp[47:24] == 24'd0) beginisZero <= 1'b1; rResult<= {1'b0, 8'd127, 23'd0}; end elserResult <= { isSign,rExp[7:0],Temp[46:24]};
end