基于麦克纳姆轮的移动平台运动学和动力学建模

作者：Nkgatho Tlale Mark de Villiers

摘要：
全方位移动平台具有从任意布局状态迅速的任意方向进行移动的能力，因此，对于建立全向移动平台的数学模型是非常重要的，尤其是当全向移动平台被应用于自动引导运输车上的时候。当需要自主引导运输车辆完成躲避物体以及防止碰撞的任务的时候，其自主移动行为的实现要求移动机器人能够在不同的工作环境中进行车辆最优运动方式的选择。本论文开发并且验证了一个移动机器人平台的数学模型，该平台基于麦克纳姆轮得以实现其全方位移动特性。该数学模型将来会被应用于一直办公服务机器人的机器人移动平台的开发，以实现其最优自主控制。在复杂的工作环境以及狭窄的通道（例如工厂车间，办公室，仓库，医院等），全方位移动平台能够展现其优越的移动的性能。

关键词：自动引导运输车；麦克纳姆轮；全方位移动；运动学模型；动力学模型

1.简介

自动导向车辆（AGV）/移动平台被广泛应用于材料处理的可重复制造系统（RMS）领域当中[1]，移动平台的全方位移动的能力，可以使得平台从任意布局状态瞬间向任意方向进行移动。本研究课题当中，机器人移动平台使用的是麦克纳姆车轮，这是一种经过特殊设计的车轮，这种设计基于一个概念，该概念可以实现：车轮所受牵引力指向一个方向，同时，车轮的运动速度指向另一个方向。这就使移动机器人在复杂拥挤环境中当具有更大的灵活性[2]。对于移动平台的某些特定运动，麦克纳姆轮可以使得移动平台在改变其移动方向的同时，而不改变其车身运动姿态。关于麦克纳姆轮的设计，可以在Dickerson与Lapin的文献[3]中找到。文献[3]解决了基于麦克纳姆轮的自动引导运输车的集中控制器设计，而Tlale [4]详细论述了其分布式控制器的设计。麦克纳姆轮的整体运动可以被认为是一种合成运动，即在车轮发生转动的时候，分布在车轮上的仅一个或两个辊子，在其母线上的一个点与地面接触时，辊子发生滚动。麦克纳姆车轮由围绕其车轮轮毂圆周方向上分布的多个辊子（在本论文的情况下为八个辊子）组成。

辊子的轴线与车轮的旋转轴线之间存在一定的角度，α。 在我们的课题中，角度α= 45°。辊子可以围绕其自身的轴线进行旋转。当麦克纳姆轮发生旋转时，最多有两个辊子，最少有一个辊子与地面发生接触。 辊子与地面之间仅存在一个非常小的接触面积[5]。取决于麦克纳姆轮的旋转方向，与地面接触的区域从辊子的一侧横向移动到辊子的另一侧。沿着偏置角度α方向所获得的牵引力，取决于麦克纳姆轮的旋转方向，这会影响到辊子与地面接触的区域的方向的移动（参见图4）。基于前面的叙述，麦克纳姆轮的有效旋转速度的公式为：

 θ ̇= n θ ̇_m  sinα        (1)

式（1）当，中θ ̇_m为驱动麦克纳姆轮直流电动机的旋转速度，n为驱动麦克纳姆轮的直流电动机的传动比。每个麦克纳姆轮的转速可以从每个车轮的编码器脉冲技术中获取，公式如下：
θ ̇= C ∆m/∆t (2)
式（2）当中，θ ̇为麦克纳姆轮的转速，常数C取决于，编码器每转一圈所产生的脉冲数、麦克纳姆轮的半径以及直流电机的传动比，∆m是车轮编码器所产生的脉冲计数量的变化，而∆t则是编码器脉冲采样的时间间隔。电机的工作效率，e，将电机的驱动旋转速度转化为电机的有效选择速度，其可以用麦克纳姆定义为公式：
e= ( θ ̇)/(n θ ̇_m )=sinα (3)
这表明，当辊子的旋转轴线平行于麦克纳姆轮的旋转轴线安装时，由于辊子将仅产生车轮滑动，因此此时的运动基本可以忽略。当辊子的轴线垂直于麦克纳姆轮的旋转轴线安装时，将会产生最大的运动速度。每当式（1）中的关系不成立时，就会发生滑动现象。滑动产生的主要原因是当车轮转动的同时，辊子围绕其轴旋转引起的。滑动由以下关系定义：
s= ( d_r)/d=( d_r)/(rnθ ̇∆Tsinα) (4)
式中d_r是在测量时间间隔∆T中，移动平台的实际位移量，r是麦克纳姆轮的平均外半径，d是由移动平台的测量系统中搭载的惯性传感器所测得的麦克纳姆轮在测量时间间隔内的运动位移量。在本研究课题中，实施了关于改进的麦克纳姆轮的设计，该设计使用了在中间布局的辊子。这种设计的优点是，当车轮在普通表面上行驶时，其所产生的摩擦阻力比较小。使了用可以自由转动的辊子后，任何的前向运动，侧向运动以及反向运动的组合都可以相应的减少摩擦阻力[9]。
开发完成的移动平台被用于室内应用领域，特别是应用于办公自动化，例如：在办公环境中被用于提供咖啡，邮件等服务的移动平台。 图1，图2和图3显示了麦克纳姆轮设计以及基于麦克纳姆轮所开发的移动机器人。

图1.麦克纳姆轮设计，带有中心安装的辊子，可以绕自身轴线旋转以减少摩擦力[5]

图2.移动测试平台 图3.麦克纳姆轮式移动平台的典型运动受力分析

                 2.实验平台

在本研究课题中，全向移动平台使用了四个麦克纳姆轮。每个车轮的旋转速度的大小与旋转方向均为独立控制的。在移动平台的操作期间，通过同时采用相同大小的车轮转速，车轮（四个轮子：1,2,3和4）和轮子旋转速度方向（三个旋转方向：静止（0），顺时针（+θ）和逆时针（-θ））的最多可达八十一种的运动组合。通过对于移动平台在不同时刻，将旋转速度引入，使得平台产生可控与不可控的运动。本论文对一个基于麦克纳姆轮的移动平台进行了运动建模，目的是为了在一个办公环境中实现一个自主的全方位移动平台。为了控制移动平台运动的合成方向，需要在不同的麦克纳姆轮上配以不同的相对转速。 例如，要实现机器人的左向平移运动，则需要右侧的轮子相对于左侧向外旋转; 而左侧轮子相对于右侧向内转动（参见图3）。 使用相同的控制方案可以实现移动机器人向任意指定方向的运动。当移动平台在摩擦系数非常低的平面上移动时，例如覆盖有油的表面，低摩擦力塑料等情况时，会形成很多的滑动，从而无法有效地控制移动平台。 移动平台在这种情况下运行有时，会具有一定的危险性。 所以有必要对在这种情况下发生的滑动进行检测。 此外，在具有高摩擦系数的平面如混凝土地面运行是，会对麦克纳姆车轮产生高度磨损。所以这些表面不利于移动平台的运行。已开发的移动平台使用了传感器测量系统，其用来验证数学模型。 传感器测量系统由以下传感器组成：
•每个车轮都配有车轮编码器，用于测量车轮的旋转方向，以及每个车轮的旋转速度和加速度；
•一个3D陀螺仪系统，用于测量每个轴的旋转运动；
•一个3D加速度计系统，用于测量每个车轮中产生的平移运动 轴。

  1. 数学模型的建立

在下面建立的数学模型中，首先假定移动平台的框架是刚性的，并且车辆上的所有点都围绕瞬时旋转中心旋转。 Shimada等人文献[6]，Tahboub文献[7]和Viboonchaicheep等人文献[8]，建立了用于位置控制的全向移动平台的数学模型。本论文建立的模型，更为倾向于基于麦克纳姆轮式移动平台的自主移动控制。

A.动力学建模

如图4所示，移动平台在瞬时状态下，移动平台所运行的平面与单个辊子接触的时单个辊子所受的力。

图4 作用在与地面接触的辊子上的力

F_Ti是由于作用在在麦克纳姆轮i的圆周处的马达转矩T_i，而在辊上产生的力。产生的扭矩可以表示为：
T_i=rF_Ti
=rμd F_if+(Iω+μ_dd)θ ̈_i (5)
式中θ ̈是麦克纳姆轮i的旋转加速度，μd是动摩擦系数（车轮与地面之间），μ_dd是粘性摩擦系数（电机轴与其轴承之间），F_if是与移动平台重量成比例的摩擦力，Iω是车轮绕其质心的惯性常数。F_Ti由直流电机电压以及电机的电流所确定的。合力F_Ti分解为辊子上的无效滑动力S_i和有效驱动力F_i。所有车实际产生的总体合力为移动平台的运动提供了驱动力。 这个合力可以被表示为（现在忽略摩擦力）：

               〖=F〗_Ti sinα                 (6)

而每个车轮上所产生的滑动力都由下面的公式定义为：

                S_i 〖=F〗_Ti cosα                 (7)

设（x，y，z）为静止参考坐标系，而（x^’,y^’,z^’）为移动平台几何中心的本体坐标系，如图4和图5所示。本体坐标系（x^’,y^’,z^’）中的有效驱动力F_i为：
F_i=F_(ix^’ ) i^’ 〖+F〗_(iy^’ ) j^’ (8)
其中i^’和j^’分别是方向向量x^’和y^’的单位向量。力F_i与在某一时刻，与移动平台所处表面接触的辊子同轴。驱动移动平台运动的的合力在x轴方向上，可以表示为：
∑(i=1)^4▒F(ix^’ ) =∑_(i=1)^4▒F_i cosα
=∑_(i=1)^4▒〖(-1)^i (SIG(θ_i 〗)〖)K〗_i F_Ti sinαcosα (9)

图5.麦克纳姆轮式移动平台及其坐标

  y^'轴上的分量总和可以表示为：

∑(i=1)^4▒F(iy^’ ) =∑_(i=1)^4▒F_i sinα
=∑_(i=1)^4▒〖(SIG(θ_i 〗)〖)K〗_i F_Ti 〖(sinα)〗^2 (10)
其中i是车轮编号，SIG(θ_i)是由右手规则所确定的用于表示车轮i旋转方向的符号（顺时针= +和逆时针= - ），K_i是车轮常数，取决于每个车轮的滚轮数量以及滚轮在轮毂上的紧密程度，θ_i是车轮i的转速。所有车轮所受合力的方向与移动平台上的合成驱动速度的方向相同。通过分析静止参考系（x，y，z）和牛顿的第二运动定律，则驱动移动平台平行于x轴运动的合力为（现增加摩擦力）：

       mx ̈=sinφ∑_(i=1)^4▒F_(ix^' ) +cosφ∑_(i=1)^4▒F-∑_(i=1)^4▒F_ifx         (11)

可以扩展为：
mx ̈=∑_(i=1)^4▒{█(█(（(-1)^i SIG(θ_i )） K_i F_Ti sinαcosαsinφ+@ )@（（SIG(θ_i )） K_i F_Ti （sinα)^2 cosφ）-F_ifx )} （12）
其中m是移动平台的总质量，x ̈是移动平台在x轴上的加速度分量，θ_i是轮子i的旋转角速度，F_ifx是轮子i在x轴方向上产生的摩擦力，α是辊子轴线与轮子i的轴线形成的偏置角度。同样地，移动平台在平行于y轴上的有效力的合力为：
my ̈=∑_(i=1)^4▒{█(█(（(-1)^i SIG(θ_i )） K_i F_Ti sinαcosαsinφ+@ )@（（SIG(θ_i )） K_i F_Ti （sinα)^2 sinφ）-F_ifx )} (13)
其中y是车辆在静止参考坐标系（x，y，z）的y轴方向上的加速度分量。在移动平台上产生的摩擦力可以看作是每个车轮上摩擦力的总和。每个车轮上所受的摩擦力取决于其质心相对于移动平台几何中心的位置以及地板使用的材料。如果质心与几何中心重合，每个车轮上的摩擦力将相等，合计为F_if。

图6.质心的几何中心和理论位置图

参考图6，所显示的摩擦力可以表示为：

F_if=μ_dd m((y ̅-e_i)/y ̅ )((x ̅-d_i)/x ̅ ) (14)
其中y ̅是从前轮到后轮或轮距的距离，x ̅是从左轮到右轮的距离或车辆的轨迹，e_i是质心与y轴中心的偏移距离，d_i是质心与x轴中心的偏移距离。e和d总是有正值，否则质心超出车辆轴距，导致车辆运动不稳定。移动平台上产生的扭矩使其朝向发生变化：
T=∑_(i=1)^4▒〖a_i |(F_i-F_if)|cosξ_i l_i 〗
=iφ ̈ (15)
其中a_i是取决于轮数的常数，对于i = 1和4，ai = -1，对于i = 2和3，ai = 1，T是改变车身姿态的扭矩，I是车辆在xy平面上的质量惯性，φ ̈是由陀螺仪测量的车辆在xy平面上的角加速度, F_i由（8）确定，ξ_i是车辆的几何中心到车轮中心的向量与该车轮的辊子所成的角度（当y ̅/x ̅ >1时，对于矩形车轮布局，角度大于90°；当y ̅/x ̅ =1时，对于正方形车轮布局，角度等于90°；当y ̅/x ̅ <1时，对于矩形车轮布局，角度小于90°），l_i为xy平面上从质心到轮i的中心的距离， 定义为：
l_i=√(〖x ̅_i〗^2+〖y ̅_i〗^2 )/2 (16)
这个方程仅适用于几何质心的旋转。关于其他旋转，请参阅下一节。方程（15）不适用于移动平台方向不变的线性合成运动。

A.运动学建模

在移动平台的每个车轮上产生的速度可以在车身本体坐标系（x^’,y^’,z^’）中做如下定义：
（17）
其方向与滚子的角度方向α相同。 x^’方向的有效速度之和可以表示为：

                                                      （18）

而y^’方向分量的总和可由下式确定：

                                                       （19）

由此得到的速度为：

                                                   （20）

在全球参考坐标系（x，y，z）中，移动平台的速度定义如下：

                                                   （21）

与

                                                   （22）

静止坐标系（x，y，z）上合成运动的方向β定义如下：
（23）

由于麦克纳姆轮平台的几何角度β可以有8个方向，使用指南针方向表示法以便于解释，则β可以是北，东北，东，东南，南，西南，西，西北。车辆的姿态由相对于x轴所测量得到的角度φ确定。φ只能通过旋转运动来改变，这在下一节中介绍。

  1. 基于麦克纳姆轮平台的旋转运动

在旋转运动过程中，确定运动的转动半径是非常重要的。 在三种情况下，车辆可以实现纯粹的转弯运动; 使用四个轮子的情况，只使用三个轮子的情况，只使用两个轮子的情况（分别参照图7到图9）。 理论上，只使用一个车轮时，车辆的姿势会改变。在实际应用中，其没有实现的原因是由于一个车轮产生的低驱动力和其他车轮产生的相对较大的摩擦力相互抵消。

图7.使用4轮的旋转运动                  图8.使用3轮的旋转运动

图9.使用2轮的旋转运动

A.四轮旋转

使用所有车轮做旋转运动时，如图7所示。当所有车轮产生具有与移动平台的几何中心方向相同的力矩时， 车体将围绕质心实现顺时针或逆时针运动。 如果一个车轮与另外三个车轮产生相反的力矩，则车辆将绕其外部的某一点产生旋转运动。 如果两个车轮产生相反的力矩，则除了两个不运动的情况，车体就会回到做线性运动的情况。在围绕车身几何中心的纯旋转情况下，旋转速度可以表示为：

                                             （24）

每个车轮绕几何中心旋转的转速相同，每个车轮的转矩在式（5）中给出。 对于这种情况，在xy平面中不存在车辆几何中心的运动。

B.三轮旋转

图8展示出了车体围绕单个固定轮（在这种情况下为轮3）自旋/在枢轴上转动，移动平台所受的力矩。车轮1的合成速度方向非常接近麦克纳姆轮的驱动方向。 车轮2和车轮4分别具有在x方向和y方向上的运动速度。 它们的合成运动速度方向必须与移动平台旋转的圆相切。如图8所示，在这种情况下，θ ̇_3= 0。如果车辆以围绕车轮3的角速度旋转，车辆上的每个点（包括车轮1,2和4）也必须以φ ̇旋转，因此：

                                        （25）

其中R_i是车轮i到旋转中心的距离，在这种情况下，R_1=√(x ̅^2+y ̅^2 ),R_2=y ̅, R_4=x ̅,如图8所示。由此可以证明式（25）可以适用于其他仅有1个固定轮的情况。在这种情况下，全局坐标系xy平面中的几何中心的相对运动由下式给出：

                                       （26）

其中R = R_1/2是几何中心与旋转中心之间的距离。由此可以得出：

                                        （27）（28）

B.二轮旋转

当且仅当使用两个驱动轮进行旋转运动时，因为非驱动轮是有效固定的轮子，所以车体的转动中心由非驱动轮的几何形状所确定。如图9所示，车轮1和车轮2的驱动方式，使其以相同的旋转方向旋转; 车轮3和车轮4没有被驱动，但是它们在与地板接触的辊子可以自由滚动。此滚动运动仅限于一条线，并与移动平台旋转的圆形轨迹相切。车轮1和2必须为旋转运动提供驱动力矩;其所提供的力矩与车轮3和车轮4的辊子的转动同心。车轮1和车轮2上的辊子允许其自身在较宽的弧线上沿移动平台转动的圆周切线进行运动。这适用于任何两个相邻的驱动轮，并且它允许移动平台围绕其周围的点，如前方，后方或两侧进行旋转运动。下面的等式可以应用于如图9所示的情况，但是此等式可以扩展到其他情况，如后面所述，旋转速度可以表示为：

                                                （29）

式中，R_1、R_2如下式给出：

                                            （30）（31）

式中，当±θ ̇_1=θ ̇_2时，θ ̇_3=θ ̇_4=0，当±θ ̇_3=θ ̇_4时，θ ̇_1=θ ̇_2=0，应用于式（29）中。
当平台的任一侧，发生旋转运动时，施加以下车轮旋转速度±θ ̇_1=θ ̇_4，θ ̇_2=θ ̇_3=0时，图9中的车辆围绕其左侧的某一个点进行旋转运动，当±θ ̇_2=θ ̇_3，θ ̇_1=θ ̇_4=0时，图9中的车辆围绕其右侧的某一个点进行旋转运动。对于第一种情况，半径变化如下式给出：

                                               （32）（33）

第二种情况中的半径变化R_2，R_3，如式（33）给出。
式（27）和式（28）在应用于正确运动半径时，适用于所有上述情况。

  1. 结果与结论

通过对不同的驱动轮进行运动组合，可以实现全方位移动平台的不同的运动形式。通过驱动四个麦克纳姆轮子，可以实现81种不同的轮子运动组合。如所预期的那样，对于旋转运动，移动平台的方向发生了改变，但是对于直线运动，平台可以在任何的指定的方向上进行移动而且可以保持改变其前进方向。对于全向移动平台非常重要的一点是，能够将移动平台成功应用到办公环境当中。 然而，其中一些车轮组合产生的运动没有实际用处，而其他组合则会对车体产生不可预测的运动，这些不可预测的运动由以下因素导致：由于地板不平坦，而引起的车轮之间的摩擦力不一致、车轮与车架没有对齐、直流电机产生的扭矩不均匀等等。但是当四个车轮的转速发生变动时，前述的建模工作则不能解决移动平台的运动行为，这将在以后研究中昨晚主要研究方向。
对移动平台进行的测试产生了51种功能运动，可用于控制麦克纳姆轮式平台。而其余30种运动是非功能性运动，即它们不会导致平台的运动。当所有的麦克纳姆车轮产生力矩方向相反时，则各个力矩相互抵消，非产生了功能性运动。 使用移动平台的集成运动传感器系统对开发的数学模型进行了验证。

附录

表1.进行平移运动的各轮转向

表1为基本平移运动所需的车轮旋转方向，若要了解旋转和非功能运动的详细信息，请联系作者。车轮编号为1-4，为车轮编号的惯例，具体参见图7。为了清晰说明平移运动方向，特将方向用指南针指向描述。

                     参考文献

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