超越函数e^(-x^2)在(-∞, +∞)上的定积分的两种解法

令 $I = \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx$

解法一 二重积分+极坐标

$I^{2} = \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-y^{2}}dy$

$= \iint e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy$

$= \iint e^{-r^{2}}rdrd\theta$

$= \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0 }^{+\infty} e^{-r^{2}}rdr$

$= \theta \mid_{0}^{2\pi} \cdot (-\frac{1}{2}e^{-r^{2}}\mid_{0 }^{+\infty })$

$= 2\pi\cdot \frac{1}{2}$

$= \pi$

故 $I = \sqrt{\pi}$

解法二 Γ函数+余元公式

$I = \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx$

$= 2\int_{0}^{+\infty }e^{-t}\frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}dt$

$= \int_{0}^{+\infty }e^{-t}t^{-\frac{1}{2}}dt$

$= \Gamma (\frac{1}{2})$

又由余元公式，有

$\Gamma (s)\Gamma (1-s) = \frac{\pi }{sin\pi s} (0< s < 1)$

于是

$I^{2}=\frac{\pi}{sin\frac{\pi}{2}} =\pi$

故 $I = \sqrt{\pi}$

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