【线性代数笔记】关于两个矩阵相乘等于零矩阵（AB=O）

定理1 设矩阵Am×nA_{m\times n}Am×n，Bn×sB_{n\times s}Bn×s满足AB=OAB=OAB=O，则
(1) BBB的各列均为齐次线性方程组Ax=0A\bm{x}=\bm{0}Ax=0的解；
(2) r(A)+r(B)≤nr(A)+r(B)\le nr(A)+r(B)≤n；
(3) 若A≠OA\ne OA=O且B≠OB\ne OB=O，则AAA的列向量组线性相关，BBB的行向量组线性相关。

证明：
(1) 将BBB按列分块，得B=(b1,b2,…,bs)B=(b_1, b_2, \dots,b_s)B=(b1,b2,…,bs)，其中bib_ibi是nnn维列向量，则AB=A(b1,b2,…,bs)AB=A(b_1, b_2, \dots,b_s)AB=A(b1,b2,…,bs)，再由分块运算法则得AB=(Ab1,Ab2,…,Abs)=O=(0,0,…,0)AB=(Ab_1, Ab_2, \dots,Ab_s)=O=(\bm{0},\bm{0},\dots,\bm{0})AB=(Ab1,Ab2,…,Abs)=O=(0,0,…,0)，故
{Ab1=0Ab2=0…Abs=0\begin{cases}Ab_1=\bm{0}\\Ab_2=\bm{0}\\\dots\\Ab_s=\bm{0}\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Ab1=0Ab2=0…Abs=0
则BBB的各列bib_ibi均为齐次线性方程组Ax=0A\bm{x}=\bm{0}Ax=0的解。
(2) 由基础解系的性质可知bib_ibi一定可以被齐次线性方程组Ax=0A\bm{x}=\bm{0}Ax=0的基础解系线性表示，故r(B)≤r(A的基础解系)=n−r(A)r(B)\le r(A\text{的基础解系})=n-r(A)r(B)≤r(A的基础解系)=n−r(A)。
∴r(A)+r(B)≤n\therefore r(A)+r(B)\le n∴r(A)+r(B)≤n。
(3) 由(1)知齐次线性方程组Ax=0A\bm{x}=\bm{0}Ax=0有非零解。将AAA按列分块，得A=[α1α2…αn]A=\begin{bmatrix}\bm{\alpha}_1&\bm{\alpha}_2&\dots&\bm{\alpha}_n\end{bmatrix}A=[α1α2…αn]，结合x=[x1x2⋮xn]\bm{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤得Ax=x1α1+x2α2+⋯+xnαn=0A\bm{x}=x_1\bm{\alpha}_1+x_2\bm{\alpha}_2+\dots+x_n\bm{\alpha}_n=\bm{0}Ax=x1α1+x2α2+⋯+xnαn=0，其中x≠0\bm{x}\ne\bm{0}x=0，因此α1,α2…,αn\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2\dots,\bm{\alpha}_nα1,α2…,αn线性相关，即AAA的列向量线性相关。再在原式两端取转置得BTAT=OT=OB^TA^T=O^T=OBTAT=OT=O，则BTB^TBT的列向量线性相关，故BBB的行向量线性相关。

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