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摘要
Rotation matrices
Generalized rotation matrices
Finding two possible angles for θ\thetaθ
Find the corresponding angles of ψ\psiψ
Finding the corresponding angles of ϕ\phiϕ
Two solutions if cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0cosθ=0
What if cos⁡θ=0\cos \theta=0cosθ=0?
Pseudo-code
More than one solution
reference

摘要

本文档讨论了从旋转矩阵中找所有可能欧拉角的简单技术。在计算机图形学、视觉，机器人和动力学中，有时候欧拉角的确定是必须的一步。然而，它的解可能不是那么的显而易见。
paper: Computing Euler angles from a rotation matrix
author：Gregory G. Slabaugh

Rotation matrices

我们从绕三个主轴旋转的标准定义开始。
绕x轴旋转ψ\psiψ弧度可定义为
Rx(ψ)=[1000cos⁡ψ−sinψ0sin⁡ψcos⁡ψ]R_x(\psi) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \psi & -sin \psi \\ 0 & \sin \psi & \cos \psi \end{bmatrix} Rx(ψ)=⎣⎡1000cosψsinψ0−sinψcosψ⎦⎤
与此类似，绕y轴旋转θ\thetaθ弧度可定义为
Ry(θ)=[cos⁡θ0sinθ010−sin⁡θ0cos⁡θ]R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix} Ry(θ)=⎣⎡cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎦⎤
最后，绕z轴旋转ϕ\phiϕ弧度可定义为
Rz(ϕ)=[cos⁡ϕ−sin⁡ϕ0sin⁡ϕcos⁡ϕ0001]R_z(\phi) = \begin{bmatrix} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rz(ϕ)=⎣⎡cosϕsinϕ0−sinϕcosϕ0001⎦⎤
角ψ,θ,ϕ\psi, \theta, \phiψ,θ,ϕ是欧拉角。

Generalized rotation matrices

旋转矩阵一般可以写成
R=[R11R12R13R21R22R23R31R32R33]R = \begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} & R_{13} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} \end{bmatrix} R=⎣⎡R11R21R31R12R22R32R13R23R33⎦⎤
可以将此矩阵考虑为三个旋转序列，每个旋转轴绕一个主轴旋转。由于矩阵乘法不满足交换律，因此绕轴旋转的顺序会影响结果。对于此分析，我们将首先绕x轴旋转，然后绕y轴旋转，最后绕z轴旋转。这样的旋转序列可以表示为矩阵乘积，
R=Rz(ϕ)Ry(θ)Rx(ψ)=[cos⁡θcos⁡ϕsin⁡ψsin⁡θcos⁡ϕ−cos⁡ψsin⁡ϕcos⁡ψsin⁡θcos⁡ϕ+sin⁡ψsin⁡ϕcos⁡θsin⁡ϕsin⁡ψsin⁡θsin⁡ϕ+cos⁡ψcos⁡ϕcos⁡ψsin⁡θsin⁡ϕ−sin⁡ψcos⁡ϕ−sin⁡θsin⁡ψcos⁡θcos⁡ψcos⁡θ]\begin{alignedat}{2} R = R_z(\phi)R_y(\theta)R_x(\psi) \\ &=\begin{bmatrix} \cos \theta \cos \phi & \sin \psi \sin \theta \cos \phi-\cos \psi \sin \phi & \cos \psi \sin \theta \cos \phi+\sin \psi \sin \phi \\ \cos \theta \sin \phi & \sin \psi \sin \theta \sin \phi+\cos \psi \cos \phi & \cos \psi \sin \theta \sin \phi-\sin \psi \cos \phi \\ -\sin \theta & \sin \psi \cos \theta & \cos \psi \cos \theta \end{bmatrix} \end{alignedat} R=Rz(ϕ)Ry(θ)Rx(ψ)=⎣⎡cosθcosϕcosθsinϕ−sinθsinψsinθcosϕ−cosψsinϕsinψsinθsinϕ+cosψcosϕsinψcosθcosψsinθcosϕ+sinψsinϕcosψsinθsinϕ−sinψcosϕcosψcosθ⎦⎤
给定一个旋转矩阵RRR,我们可以通过将RRR每个元素与矩阵乘积Rz(ϕ)Ry(θ)Rx(ϕ)R_z(\phi)R_y(\theta)R_x(\phi)Rz(ϕ)Ry(θ)Rx(ϕ)对应元素相等计算欧拉角ψ,θ,ϕ\psi, \theta, \phiψ,θ,ϕ。这将得到九个方程，可用于找到欧拉角。

Finding two possible angles for θ\thetaθ

由R31R_{31}R31，我们得到
R31=−sin⁡θR_{31} = - \sin \theta R31=−sinθ
对等式求反得到
θ=−asin(R31)(1)\theta = - \mathrm{asin}(R_{31}) \tag{1} θ=−asin(R31)(1)
然而，对等式(1)解释的时候应该注意到sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin (\pi - \theta)=\sin \thetasin(π−θ)=sinθ,因此有两个不同的θ\thetaθ都满足等式(1)（备注：除了θ=±π/2\theta= \pm \pi /2θ=±π/2(即R31=±1R_{31}=\pm1R31=±1)）。因此θ\thetaθ有两个有效的解。
θ1=−asin(R31)θ2=π−θ1=π+asin(R31)\begin{aligned} \theta_1 &= - \mathrm{asin}(R_{31}) \\ \theta_2 &= \pi - \theta_1 = \pi + \mathrm{asin}(R_{31}) \end{aligned} θ1θ2=−asin(R31)=π−θ1=π+asin(R31)
接下来的报告中，我们将单独处理R31=±1R_{31}= \pm 1R31=±1的情况。因此，通过利用R31R_{31}R31元素的值，我们可以确定θ\thetaθ的两个不同的值。

Find the corresponding angles of ψ\psiψ

为了找到ψ\psiψ的值，我们观察到
R32R33=tan⁡(ψ)\frac{R_{32}}{R_{33}} = \tan(\psi) R33R32=tan(ψ)
我们使用该等式解ψ\psiψ,有
ψ=atan2(R32,R33)(2)\psi = \mathrm{atan2}(R_{32}, R_{33}) \tag{2} ψ=atan2(R32,R33)(2)
其中atan2(y,x)\mathrm{atan2}(y, x)atan2(y,x)表示变量x,yx, yx,y的反正切，它类似于计算y / x的反正切，不同之处在于，两个自变量的符号都用于确定结果的象限，该象限在[-π，π]范围内。函数atan2\mathrm{atan2}atan2在很多程序语言中都有实现。
在解释等式（2）时我们注意到，当cos⁡θ>0\cos \theta \gt 0cosθ>0时， ψ=atan(R32,R33)\psi = \mathrm{atan(R_{32}, R_{33})}ψ=atan(R32,R33)，然而，当cos⁡ψ<0\cos \psi \lt 0cosψ<0时， ψ=atan2(−R32,−R33)\psi = \mathrm{atan2}(-R_{32}, -R_{33})ψ=atan2(−R32,−R33)，一个简单的解决方法是使用等式
ψ=atan2(R32cos⁡θ,R33cos⁡θ)(3)\psi = \mathrm{atan2}\left(\frac{R_{32}}{\cos \theta}, \frac{R_{33}}{\cos \theta} \right) \tag{3} ψ=atan2(cosθR32,cosθR33)(3)
计算ψ\psiψ。
等式3对于所有的情况都适用，除了当cos⁡θ=0\cos \theta = 0cosθ=0时，随后将处理这种特殊情况。对于每一个θ\thetaθ值，我们利用等式（3）计算一个对应的ψ\psiψ值，得到
ψ1=atan2(R32cos⁡θ1,R33cos⁡θ1)(4)\psi_1 = \mathrm{atan2} \left( \frac{R_{32}}{\cos \theta_1}, \frac{R_{33}}{\cos \theta_1} \right) \tag{4} ψ1=atan2(cosθ1R32,cosθ1R33)(4)
ψ2=atan2(R32cos⁡θ2,R33cos⁡θ2)(5)\psi_2 = \mathrm{atan2} \left( \frac{R_{32}}{\cos \theta_2}, \frac{R_{33}}{\cos \theta_2} \right) \tag{5} ψ2=atan2(cosθ2R32,cosθ2R33)(5)

Finding the corresponding angles of ϕ\phiϕ

类似的分析也适用于寻找ϕ\phiϕ,观察到
R21R11=tan⁡ϕ\frac{R_{21}}{R_{11}} = \tan \phi R11R21=tanϕ
解ϕ\phiϕ使用等式
ϕ=atan2(R21cos⁡θ,R11cos⁡θ)(6)\phi = \mathrm{atan2}\left( \frac{R_{21}}{\cos \theta}, \frac{R_{11}}{\cos \theta}\right) \tag{6} ϕ=atan2(cosθR21,cosθR11)(6)
同样，等式6对于所有的情况都适用，除了当cos⁡θ=0\cos \theta = 0cosθ=0时，随后将处理这种特殊情况。对于每一个θ\thetaθ值，我们利用等式（6）计算一个对应的ϕ\phiϕ值，得到
ϕ1=atan2(R21cos⁡θ1,R11cos⁡θ1)(7)\phi_1 = \mathrm{atan2} \left( \frac{R_{21}}{\cos \theta_1}, \frac{R_{11}}{\cos \theta_1} \right) \tag{7} ϕ1=atan2(cosθ1R21,cosθ1R11)(7)
ϕ2=atan2(R21cos⁡θ2,R11cos⁡θ2)(8)\phi_2 = \mathrm{atan2} \left( \frac{R_{21}}{\cos \theta_2}, \frac{R_{11}}{\cos \theta_2} \right) \tag{8} ϕ2=atan2(cosθ2R21,cosθ2R11)(8)

Two solutions if cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0cosθ=0

对于cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0cosθ=0的情况，我们现在有两个三维(triplets)欧拉角来重现（reproduce）旋转矩阵，即
(ψ1,θ1,ϕ1)(ψ2,θ2,ϕ2)(\psi_1, \theta_1, \phi_1) \\ (\psi_2, \theta_2, \phi_2) (ψ1,θ1,ϕ1)(ψ2,θ2,ϕ2)
这两个解都是有效的。

What if cos⁡θ=0\cos \theta=0cosθ=0?

如果旋转矩阵的R33R_{33}R33元素为1或-1（分别对应θ=−π/2\theta = - \pi/2θ=−π/2或θ=π/2\theta = \pi/2θ=π/2且cos⁡θ=0\cos \theta = 0cosθ=0），则上述技术无效。当我们试图使用上面的技术解ψ,ϕ\psi, \phiψ,ϕ时，将会出现问题，因为R11,R21,R32,R33R_{11}, R_{21}, R_{32}, R_{33}R11,R21,R32,R33都等于0，等式（3）和（6）变成
ψ=atan2(0,0)ϕ=atan2(0,0)\psi = \mathrm{atan2} \left(0, 0 \right) \\ \phi = \mathrm{atan2} \left(0, 0 \right) ψ=atan2(0,0)ϕ=atan2(0,0)
在这种情况下，R11,R21,R32,R33R_{11}, R_{21}, R_{32}, R_{33}R11,R21,R32,R33不限制ψ\psiψ和ϕ\phiϕ的值。因此，我们必须使用旋转矩阵的不同元素来计算ψ\psiψ和ϕ\phiϕ的值。

θ=π/2\theta = \pi/2θ=π/2情况：当θ=π/2\theta = \pi/2θ=π/2时有
R12=sin⁡ψsin⁡θcos⁡ϕ−cos⁡ψsin⁡ϕ=sin⁡ψcos⁡ϕ−cos⁡ψsin⁡ϕ=sin⁡(ψ−ϕ)R13=cos⁡ψsin⁡θcos⁡ϕ+sin⁡ψsin⁡ϕ=cos⁡ψcos⁡ϕ+sin⁡ψsin⁡ϕ=cos⁡(ψ−ϕ)R22=sin⁡ψsin⁡θsin⁡ϕ+cos⁡ψcos⁡ϕ=sin⁡ψsin⁡ϕ+cos⁡ψcos⁡ϕ=cos⁡(ψ−ϕ)=R13R23=cos⁡ψsin⁡θsin⁡ϕ−sin⁡ψcos⁡ϕ=cos⁡ψsin⁡ϕ−sin⁡ψcos⁡ϕ=−sin⁡(ψ−ϕ)=−R12R_{12} = \sin \psi \sin \theta \cos \phi-\cos \psi \sin \phi = \sin \psi \cos \phi-\cos \psi \sin \phi =\sin(\psi - \phi) \\ R_{13}=\cos \psi \sin \theta \cos \phi+\sin \psi \sin \phi = \cos \psi \cos \phi+\sin \psi \sin \phi=\cos (\psi - \phi) \\ R_{22} = \sin \psi \sin \theta \sin \phi+\cos \psi \cos \phi= \sin \psi \sin \phi+\cos \psi \cos \phi = \cos(\psi - \phi) = R_{13} \\ R_{23} = \cos \psi \sin \theta \sin \phi-\sin \psi \cos \phi = \cos \psi \sin \phi-\sin \psi \cos \phi = - \sin (\psi - \phi) = -R_{12} R12=sinψsinθcosϕ−cosψsinϕ=sinψcosϕ−cosψsinϕ=sin(ψ−ϕ)R13=cosψsinθcosϕ+sinψsinϕ=cosψcosϕ+sinψsinϕ=cos(ψ−ϕ)R22=sinψsinθsinϕ+cosψcosϕ=sinψsinϕ+cosψcosϕ=cos(ψ−ϕ)=R13R23=cosψsinθsinϕ−sinψcosϕ=cosψsinϕ−sinψcosϕ=−sin(ψ−ϕ)=−R12
满足这些等式的任何ϕ,ψ\phi, \psiϕ,ψ都是有效的解，利用等式R12,R13R_{12}, R_{13}R12,R13，我们发现
(ψ−ϕ)=atan2(R12,R13)ψ=ϕ+atan2(R12,R13)(\psi - \phi) = \mathrm{atan2}(R_{12}, R_{13}) \\ \psi = \phi + \mathrm{atan2}(R_{12}, R_{13}) (ψ−ϕ)=atan2(R12,R13)ψ=ϕ+atan2(R12,R13)
θ=−π/2\theta =- \pi/2θ=−π/2情况：类似的，有
R12=sin⁡ψsin⁡θcos⁡ϕ−cos⁡ψsin⁡ϕ=−sin⁡ψcos⁡ϕ−cos⁡ψsin⁡ϕ=−sin⁡(ψ+ϕ)R13=cos⁡ψsin⁡θcos⁡ϕ+sin⁡ψsin⁡ϕ=−cos⁡ψcos⁡ϕ+sin⁡ψsin⁡ϕ=−cos⁡(ψ+ϕ)R22=sin⁡ψsin⁡θsin⁡ϕ+cos⁡ψcos⁡ϕ=−sin⁡ψsin⁡ϕ+cos⁡ψcos⁡ϕ=cos⁡(ψ+ϕ)=−R13R23=cos⁡ψsin⁡θsin⁡ϕ−sin⁡ψcos⁡ϕ=−cos⁡ψsin⁡ϕ−sin⁡ψcos⁡ϕ=−−sin⁡(ψ+ϕ)=R12R_{12} = \sin \psi \sin \theta \cos \phi-\cos \psi \sin \phi = -\sin \psi \cos \phi-\cos \psi \sin \phi =-\sin(\psi + \phi) \\ R_{13}=\cos \psi \sin \theta \cos \phi+\sin \psi \sin \phi = -\cos \psi \cos \phi+\sin \psi \sin \phi=-\cos (\psi +\phi) \\ R_{22} = \sin \psi \sin \theta \sin \phi+\cos \psi \cos \phi= -\sin \psi \sin \phi+\cos \psi \cos \phi = \cos(\psi + \phi) = -R_{13} \\ R_{23} = \cos \psi \sin \theta \sin \phi-\sin \psi \cos \phi = - \cos \psi \sin \phi-\sin \psi \cos \phi = - -\sin (\psi + \phi) = R_{12} R12=sinψsinθcosϕ−cosψsinϕ=−sinψcosϕ−cosψsinϕ=−sin(ψ+ϕ)R13=cosψsinθcosϕ+sinψsinϕ=−cosψcosϕ+sinψsinϕ=−cos(ψ+ϕ)R22=sinψsinθsinϕ+cosψcosϕ=−sinψsinϕ+cosψcosϕ=cos(ψ+ϕ)=−R13R23=cosψsinθsinϕ−sinψcosϕ=−cosψsinϕ−sinψcosϕ=−−sin(ψ+ϕ)=R12
同样，有
(ψ+ϕ)=atan2(−R12,−R13)ψ=−ϕ+atan2(−R12,−R13)(\psi + \phi) = \mathrm{atan2}(-R_{12}, -R_{13}) \\ \psi = -\phi + \mathrm{atan2}(-R_{12}, -R_{13}) (ψ+ϕ)=atan2(−R12,−R13)ψ=−ϕ+atan2(−R12,−R13)

无论哪种情况: 在θ=π/2\theta = \pi/2θ=π/2和θ=−π/2\theta = -\pi/2θ=−π/2的情况下，我们都发现ψ\psiψ和ϕ\phiϕ是关联的。这种现象称为万向节锁(Gimbal lock)。尽管在这种情况下，有无数个问题的解，但在实践中，人们常常有兴趣寻找一个解。对于此任务，如上所述方便地设置ϕ=0\phi=0ϕ=0并计算ψ\psiψ。

Pseudo-code

现在，我们通过图1中的伪代码实现来总结该方法。代码非常简单。

reference

[1]. Gregory G. Slabaugh, Computing Euler angles from a rotation matrix

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