1.概述

在含有n个结点的二叉树中，有n+1个空指针，即每个度为1的结点有一个空指针，每个叶子结点有两个空指针，这就造成了空间的浪费。可以通过一些方法将这些空指针充分利用起来，即将这些空指针改成指向前驱或后继的线索，可以视为在原本的二叉树上用空指针建立一个线索链表，加上了线索的二叉树也可称为线索二叉树。

2.基本操作

2.1 结构体构造

// 线索二叉树结点
typedef struct ThreadNode {char data;  // 数据域// 左孩子、右孩子struct ThreadNode *lchild, *rchild;// 左、右线索标志// tag==0表示指针指向孩子// tag==1表示指针指向线索int ltag, rtag;
} ThreadNode, *ThreadTree;// 全局变量pre，指向当前访问结点的前驱
ThreadNode *pre = NULL;

2.2 初始化

建立一个根节点，同时将左右孩子指针置空，将左右tag设为0。

// 初始化
void InitTree(ThreadNode* &T) {// 初始化可将根节点置空，空树T = NULL;// 插入根节点// 分配空间T = (ThreadNode*)malloc(sizeof(ThreadNode));// 赋值T->data = 'A';// 初始tag设为0T->ltag = 0;T->rtag = 0;// 初始无左右子树T->lchild = NULL;T->rchild = NULL;
}

2.3 左插入结点

与一般二叉树插入类似，不过要注意修改tag的值。

// 左插入结点
bool InsertLeftTreeNode(ThreadNode* &T, char x) {// 分配空间ThreadNode *p = (ThreadNode*)malloc(sizeof(ThreadNode));// 分配空间失败的情况if(p == NULL) {return false;}// 数据域赋值p->data = x;// 将tag值设为0p->ltag = 0;p->rtag = 0;// 初始插入，无左右孩子，置空p->lchild = NULL;p->rchild = NULL;// 作为指定插入结点的左孩子T->lchild = p;return true;
}

2.4 右插入结点

与一般二叉树插入类似，不过要注意修改tag的值。

// 右插入结点
bool InsertRightTreeNode(ThreadNode* &T, char x) {// 分配空间ThreadNode *p = (ThreadNode*)malloc(sizeof(ThreadNode));// 分配空间失败的情况if(p == NULL) {return false;}// 数据域赋值p->data = x;// 将tag值设为0p->ltag = 0;p->rtag = 0;// 初始插入，无左右孩子，置空p->lchild = NULL;p->rchild = NULL;// 作为指定插入结点的左孩子T->rchild = p;return true;
}

2.5 访问结点并建立线索

遍历中访问结点，在遍历的同时建立前驱及后继线索。

// 用于访问结点
void visit(ThreadNode *q) {// 左子树为空，建立前驱线索if(q->lchild == NULL) {// 令其左指针指向前驱q->lchild = pre;// 将tag值修改为1，表示此处左指针指向的是前驱，即左孩子指针是线索q->ltag = 1;if(pre != NULL) {printf("建立前驱线索：%c-->%c\n", q->data, pre->data);} else {printf("建立前驱线索：%c-->%s\n", q->data, "NULL");}}// 设立后继线索时前驱不能为空（无前驱无法建立后继）// 右孩子指针为空，表示可以建立后继线索if(pre != NULL && pre->rchild == NULL) {// 建立前驱结点的后继线索pre->rchild = q;// 将tag值修改为1，表示此处右指针指向的是后继，即右孩子指针是线索pre->rtag = 1;printf("建立后继线索：%c-->%c\n", pre->data, q->data);}// 线索建立完成后，前驱指针移动，指向当前指向结点处pre = q;
}

2.6 中序遍历二叉树并建立线索

实际上就是进行中序遍历，一边遍历一边线索化，因为想得到一个结点的前驱或者后继，只能在遍历时取得。

// 中序线索化二叉树
// 实际上就是进行中序遍历，一边遍历一边线索化
// 因为想得到一个结点的前驱或者后继，只能在遍历时取得
// 线索化在visit函数中完成
void InThread(ThreadTree T) {if(T != NULL) {InThread(T->lchild);visit(T);InThread(T->rchild);}
}

2.7 中序线索化二叉树

// 中序线索化二叉树
void CreateInThread(ThreadTree T) {// pre初始为NULLpre = NULL;// 若二叉树为空，则不可线索化if(T != NULL) {// 中序线索化二叉树InThread(T);// 对于最后一个结点的处理// 由于访问完成后，pre和p都指向最后一个结点// 按照线索化的要求，如果最后一个结点右孩子指向NULL，则可视为其有后继结点// 应将tag设为1if(pre->rchild == NULL) {pre->rtag = 1;printf("建立后继线索：%c-->%s\n", pre->data, "NULL");}}
}

2.8 找到第一个被中序遍历的结点

找到以p为根的子树中，第一个被中序遍历的结点。

// 找到以p为根的子树中，第一个被中序遍历的结点
// 即后继结点
ThreadNode *FirstNode(ThreadNode *p) {// 循环找到最左下结点（不一定是叶子结点）// 当ltag==0时，说明其线索二叉树此结点不存在左线索，那么一定有左子树while(p->ltag == 0) {p = p->lchild;}return p;
}

2.9 在中序线索二叉树中找到某一结点的后继结点

要找到一个结点的后继，如果右孩子指针tag==1，直接用线索即可，如若不为1，那么就要根据中序遍历的特点来寻找后继结点，即左根右。如果该结点有右孩子且右孩子为叶子结点，那么这就是其后继结点，如果该节点有右孩子，且为分支结点，那么后继结点就应该是该节点右子树的最左下结点。

// 在中序线索二叉树中找到结点p的后继结点
// 要找到一个结点的后继，如果右孩子指针tag==1，直接用线索即可
// 如若不为1，那么就要根据中序遍历的特点来寻找后继结点，即左根右
// 如果该结点有右孩子且右孩子为叶子结点，那么这就是其后继结点
// 如果该节点有右孩子，且为分支结点，那么后继结点就应该是该节点右子树的最左下结点
// 注意：若没有线索，则一定存在右子树（根据线索二叉树特点）
ThreadNode *NextNode(ThreadNode *p) {// 如果右孩子结点无线索if(p->rtag == 0) return FirstNode(p->rchild);// 如果右孩子结点有线索则直接利用线索找到结点即可else return p->rchild;
}

2.10 利用中序线索树完成非递归中序遍历

// 对中序线索二叉树进行中序遍历（利用线索非递归实现）
// 首先找到根节点最左下结点，访问之后，通过NextNode函数找后继结点访问即可
void InOrder(ThreadNode *T) {for(ThreadNode *p = FirstNode(T);p != NULL;p = NextNode(p)) {visit1(p);}
}

3.完整代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>// 线索二叉树结点
typedef struct ThreadNode {char data;  // 数据域// 左孩子、右孩子struct ThreadNode *lchild, *rchild;// 左、右线索标志// tag==0表示指针指向孩子// tag==1表示指针指向线索int ltag, rtag;
} ThreadNode, *ThreadTree;// 全局变量pre，指向当前访问结点的前驱
ThreadNode *pre = NULL;// 初始化
void InitTree(ThreadNode* &T) {// 初始化可将根节点置空，空树T = NULL;// 插入根节点// 分配空间T = (ThreadNode*)malloc(sizeof(ThreadNode));// 赋值T->data = 'A';// 初始tag设为0T->ltag = 0;T->rtag = 0;// 初始无左右子树T->lchild = NULL;T->rchild = NULL;
}// 左插入结点
bool InsertLeftTreeNode(ThreadNode* &T, char x) {// 分配空间ThreadNode *p = (ThreadNode*)malloc(sizeof(ThreadNode));// 分配空间失败的情况if(p == NULL) {return false;}// 数据域赋值p->data = x;// 将tag值设为0p->ltag = 0;p->rtag = 0;// 初始插入，无左右孩子，置空p->lchild = NULL;p->rchild = NULL;// 作为指定插入结点的左孩子T->lchild = p;return true;
}// 右插入结点
bool InsertRightTreeNode(ThreadNode* &T, char x) {// 分配空间ThreadNode *p = (ThreadNode*)malloc(sizeof(ThreadNode));// 分配空间失败的情况if(p == NULL) {return false;}// 数据域赋值p->data = x;// 将tag值设为0p->ltag = 0;p->rtag = 0;// 初始插入，无左右孩子，置空p->lchild = NULL;p->rchild = NULL;// 作为指定插入结点的左孩子T->rchild = p;return true;
}// 用于访问结点
void visit(ThreadNode *q) {// 左子树为空，建立前驱线索if(q->lchild == NULL) {// 令其左指针指向前驱q->lchild = pre;// 将tag值修改为1，表示此处左指针指向的是前驱，即左孩子指针是线索q->ltag = 1;if(pre != NULL) {printf("建立前驱线索：%c-->%c\n", q->data, pre->data);} else {printf("建立前驱线索：%c-->%s\n", q->data, "NULL");}}// 设立后继线索时前驱不能为空（无前驱无法建立后继）// 右孩子指针为空，表示可以建立后继线索if(pre != NULL && pre->rchild == NULL) {// 建立前驱结点的后继线索pre->rchild = q;// 将tag值修改为1，表示此处右指针指向的是后继，即右孩子指针是线索pre->rtag = 1;printf("建立后继线索：%c-->%c\n", pre->data, q->data);}// 线索建立完成后，前驱指针移动，指向当前指向结点处pre = q;
}// 中序线索化二叉树
// 实际上就是进行中序遍历，一边遍历一边线索化
// 因为想得到一个结点的前驱或者后继，只能在遍历时取得
// 线索化在visit函数中完成
void InThread(ThreadTree T) {if(T != NULL) {InThread(T->lchild);visit(T);InThread(T->rchild);}
}// 中序线索化二叉树
void CreateInThread(ThreadTree T) {// pre初始为NULLpre = NULL;// 若二叉树为空，则不可线索化if(T != NULL) {// 中序线索化二叉树InThread(T);// 对于最后一个结点的处理// 由于访问完成后，pre和p都指向最后一个结点// 按照线索化的要求，如果最后一个结点右孩子指向NULL，则可视为其有后继结点// 应将tag设为1if(pre->rchild == NULL) {pre->rtag = 1;printf("建立后继线索：%c-->%s\n", pre->data, "NULL");}}
}// 找到以p为根的子树中，第一个被中序遍历的结点
// 即后继结点
ThreadNode *FirstNode(ThreadNode *p) {// 循环找到最左下结点（不一定是叶子结点）// 当ltag==0时，说明其线索二叉树此结点不存在左线索，那么一定有左子树while(p->ltag == 0) {p = p->lchild;}return p;
}// 在中序线索二叉树中找到结点p的后继结点
// 要找到一个结点的后继，如果右孩子指针tag==1，直接用线索即可
// 如若不为1，那么就要根据中序遍历的特点来寻找后继结点，即左根右
// 如果该结点有右孩子且右孩子为叶子结点，那么这就是其后继结点
// 如果该节点有右孩子，且为分支结点，那么后继结点就应该是该节点右子树的最左下结点
// 注意：若没有线索，则一定存在右子树（根据线索二叉树特点）
ThreadNode *NextNode(ThreadNode *p) {// 如果右孩子结点无线索if(p->rtag == 0) return FirstNode(p->rchild);// 如果右孩子结点有线索则直接利用线索找到结点即可else return p->rchild;
}// 访问结点
void visit1(ThreadNode *T) {printf("%c   ", T->data);
}// 对中序线索二叉树进行中序遍历（利用线索非递归实现）
// 首先找到根节点最左下结点，访问之后，通过NextNode函数找后继结点访问即可
void InOrder(ThreadNode *T) {for(ThreadNode *p = FirstNode(T);p != NULL;p = NextNode(p)) {visit1(p);}
}// 找到以p为根的子树中最后一个被中序遍历的结点
// 即前驱结点
ThreadNode *LastNode(ThreadNode *p) {// 循环找到最右下结点（不一定为叶子结点）// 当rtag==0时，说明其线索二叉树此结点不存在右线索，那么一定有右子树while(p->rtag == 0) {p = p->rchild;}return p;
}// 在中序线索二叉树中找到结点p的前驱结点
// 要找到一个结点的前驱，如果左孩子指针tag==1，直接用线索即可
// 如若不为1，那么就要根据中序遍历的特点来寻找前驱结点，即左根右
// 即应该找到其左子树中遍历的最后一个结点，即左子树最右下结点，那即是其前驱结点
// 注意：若没有线索，则一定存在左子树（根据线索二叉树特点）
ThreadNode *PreNode(ThreadNode *p) {// 左子树中最右下结点if(p->ltag == 0) {return LastNode(p->lchild);} else {// 如果右孩子结点有线索则直接利用线索找到结点即可return p->lchild;}
}int main() {ThreadTree T;InitTree(T);InsertLeftTreeNode(T, 'B');InsertRightTreeNode(T, 'C');InsertLeftTreeNode(T->lchild, 'D');InsertRightTreeNode(T->lchild, 'E');InsertLeftTreeNode(T->rchild, 'F');InsertRightTreeNode(T->rchild, 'G');CreateInThread(T);printf("InOrder\n");InOrder(T);
}

4.运行结果

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