CF1654-G. Snowy Mountain(2900) GOOD

思路

分析最优解性质

任意两个点高度至多相差1
任取一条最优滑雪路径。最后反复出现的点一定最多仅有2个。其余的路径上的点互不相同。
- 若不然，可以将其余的重复点构成的路径加到这两个点的反复中。
如果能反复，考虑在点uuu开始进行反复。开始点为点v。则最长能滑动的总路径为2hv−hu2h_v - h_u2hv−hu这是因为从点v到点u多余能量hv−huh_v - h_uhv−hu，在u点开始与其邻居进行反复，直到能量消耗为0.至此，共消耗能量2(hv−hu)2 (h _v - h_u)2(hv−hu)。加上从u点到doge能滑动最长的距离huh_uhu。
由上式可见，若huh_uhu较小，则滑动的距离较大。因此对每个结点找其能到达的高度最低的u点，如果能找到答案为上述式子，否则答案为自身的高度

逆向考察

对上述u点，其必须满足至少有一个邻居与其有同样的高度。对于这样的点对u,vu,vu,v,v是u的与其相同高度的邻居。其到达它们最近的doge的路径互不相交。因此∑u∈Shu\sum_{u \in S} h_uu∈S∑hu较小。可以证明其是O(n)O(n)O(n)级别的。于是不同的huh_uhu个数是n\sqrt{n}n级别的。
对每种可能的高度对应的结点考察其能够到达的所有结点。

实现（官方）

先使用多源bfs求出所有点的高度。

while(!q.empty()){int x=q.front();q.pop();for(auto c:adj[x]){if(d[c] == -1){d[c]=d[x]+1;q.push(c);}}}

利用h数组记录可行的高度i是几号高度，利用g数组记录z号高度的实际高度。

     for(int i=1; i<=n ;i++){f[d[i]].push_back(i);for(auto c:adj[i]){if(d[c]==d[i] && c>i){use[d[i]]=true;}}}for(int i=0; i<=n ;i++){if(use[i]){g[++z]=i;h[i]=z;}}/*

ans[i][z]表示i号结点到达z号高度满足邻居有相同z号高度的结点所需要的最少初始能量，其中z的取值是n\sqrt{n}n级别的。
将结点按高度进行分层。假设下一层所需要到达的每一种可能高度的最低能量已经求出，下一层对上一层按照公式：
ans[x][i]=min(ans[x][i],max(0,ans[c][i]−1))ans[x][i]=min(ans[x][i],max(0,ans[c][i]-1))ans[x][i]=min(ans[x][i],max(0,ans[c][i]−1))
其中c是下一层结点,x是当前层结点。

             for(auto c:adj[x]){if(d[c]==d[x]-1){for(int i=1; i<=z ;i++) ans[x][i]=min(ans[x][i],max((ll)0,ans[c][i]-1));}}

同层结点的转移，利用up and down dp，通过两次dfs(待学习)
ans[c][i]=min(ans[c][i],ans[id][i]+1)ans[c][i]=min(ans[c][i],ans[id][i]+1)ans[c][i]=min(ans[c][i],ans[id][i]+1)
其中id是c的邻居，对每种高度i循环执行

void dfs(int id,int p){vis[id]=true;for(auto c:adj[id]){if(c==p || d[c]!=d[id]) continue;dfs(c,id);for(int i=1; i<=z ;i++){ans[id][i]=min(ans[id][i],ans[c][i]+1);}ans[id][h[d[id]]]=0;}}void dfs2(int id,int p){for(auto c:adj[id]){if(c==p || d[c]!=d[id]) continue;for(int i=1; i<=z ;i++){ans[c][i]=min(ans[c][i],ans[id][i]+1);}ans[c][h[d[c]]]=0;dfs2(c,id);}}

    #include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;#define fi first#define se second#define int long longconst ll mod=998244353;const int N=2e5+1;int n;int d[N];queue<int>q;vector<int>adj[N];int g[N],h[N],z;bool use[N];vector<int>ans[N];vector<int>f[N];bool vis[N];void dfs(int id,int p){vis[id]=true;for(auto c:adj[id]){if(c==p || d[c]!=d[id]) continue;dfs(c,id);for(int i=1; i<=z ;i++){ans[id][i]=min(ans[id][i],ans[c][i]+1);}ans[id][h[d[id]]]=0;}}void dfs2(int id,int p){for(auto c:adj[id]){if(c==p || d[c]!=d[id]) continue;for(int i=1; i<=z ;i++){ans[c][i]=min(ans[c][i],ans[id][i]+1);}ans[c][h[d[c]]]=0;dfs2(c,id);}}main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin >> n;for(int i=1; i<=n ;i++){int x;cin >> x;if(x==1) {q.push(i);d[i] = 0;}else d[i]=-1;     }for(int i=1; i<n ;i++){int u,v;cin >> u >> v;adj[u].push_back(v);adj[v].push_back(u);}while(!q.empty()){int x=q.front();q.pop();for(auto c:adj[x]){if(d[c] == -1){d[c]=d[x]+1;q.push(c);}}}for(int i=1; i<=n ;i++){f[d[i]].push_back(i);for(auto c:adj[i]){if(d[c]==d[i] && c>i){use[d[i]]=true;}}}for(int i=0; i<=n ;i++){if(use[i]){g[++z]=i;h[i]=z;}}/*for(int i=1; i<=n ;i++){cout << d[i] << ' ';}cout << endl;*/for(int i=1; i<=n ;i++){ans[i].resize(z+1);}for(int j=0; j<=n ;j++){for(auto x:f[j]){for(int i=1; i<=z ;i++) ans[x][i]=1e9;for(auto c:adj[x]){if(d[c]==d[x]-1){for(int i=1; i<=z ;i++) ans[x][i]=min(ans[x][i],max((ll)0,ans[c][i]-1));}}}for(auto x:f[j]){if(!vis[x]){dfs(x,0);dfs2(x,0);}}/*for(auto x:f[j]){cout << x << ": ";for(int i=1; i<=z ;i++) cout << ans[x][i] << ' ';cout << '\n';}*/}for(int i=1; i<=n ;i++){int res=d[i];for(int j=1; j<=z ;j++){if(ans[i][j]==0) res=max(res,d[i]*2-g[j]);}cout << res << ' ';}cout << '\n';}

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