交互式多模型-无迹卡尔曼滤波IMM-UKF——CV/CT/CA模型交互机动目标跟踪（模型维数不同IMM算法设计）

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交互式多模型-无迹卡尔曼滤波IMM-UKF——CV/CT/CA模型交互机动目标跟踪（模型维数不同IMM算法设计）

交互式多模型-无迹卡尔曼滤波IMM-UKF——CV/CT/CA模型交互机动目标跟踪（模型维数不同IMM算法设计）
- 1. 难点分析
- 2. 设计思路/解决方案
- - 2.1 CV模型： ${X}=[x, y, \dot{x}, \dot{y}]^T$
  - 2.2 CT模型： ${X}=[x, y, \dot{x}, \dot{y}]^T$
  - 2.3 CA模型：${X}=[x, x, \dot{x},\dot{y},\ddot{x}, \ddot{y}]^T$
  - 2.4 IMM滤波器状态维数设计
  - 2.5 IMM各模型滤波器设计
- 3. IMM-UKF仿真实现
- - 3.1. 仿真参数
  - 3.2. 跟踪轨迹
  - 3.3. 位置/速度RMSE
  - 4.4. 模型概率
  - 4.5. 部分代码

基于IMM机动目标跟踪算法设计最重要的核心部分主要包括：

IMM框架

滤波器选择：(这里基于UKF)

目标运动模型：（这里基于CV CT）

1. 难点分析

针对机动目标跟踪问题，如果交互式多模型IMM框架、如模型转移概率、模型集合以及模型概率初始等确定时，IMM算法的实现（设计）主要存在两大难点：

1- 非线性滤波器的选择和集成

2- 模型集合多样、不统一
在IMM算法设计中，模型多样最直接的一个问题就是戈尔戈模型的状态维数不同，而IMM 的总体（混合）估计却只存在一个统一的状态维数，因此这就导致了很多模型组合不能直接适用于IMM 算法中。

以二维目标为例，CV模型的状态维数4，而CA模型的状态维数6，CT模型的状态维数存在两种情形4和5，singer模型状态维数为6，Jerk模型的状态维数为8，等等。这直接导致IMM滤波器状态失配。

2. 设计思路/解决方案

以典型组合
模型1：匀速运动CV（4维）
模型2：匀速转弯运动CT(4维)
模型3：匀加速运动CA（6维）
为例，进行分析。

其它不同维数的模型组合可以基于该思想，很容易的推广。哈哈哈哈哈哈啊哈哈哈，一学就会，…

2.1 CV模型： X=[x,y,x˙,y˙]T{X}=[x, y, \dot{x}, \dot{y}]^TX=[x,y,x˙,y˙]T

Xk+1=[10T0010T00100001]Xk+WkX_{k+1}=\begin{bmatrix}1&0&T&0\\0&1&0&T\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}X_{k} + W_k Xk+1=⎣⎢⎢⎡10000100T0100T01⎦⎥⎥⎤Xk+Wk
其中WkW_kWk为零均值白噪声，其方差为：
Qk=qk2[T3/3T2/200T2/2T0000T3/3T2/200T2/2T]Q_k=q_k^2\begin{bmatrix}T^3/3&T^2/2&0&0 \\T^2/2&T&0&0 \\0&0&T^3/3&T^2/2 \\0&0& T^2/2&T\end{bmatrix}Qk=qk2⎣⎢⎢⎡T3/3T2/200T2/2T0000T3/3T2/200T2/2T⎦⎥⎥⎤
定义矩阵
Fk1=[10T0010T00100001]Fk_1=\begin{bmatrix}1&0&T&0\\0&1&0&T\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{bmatrix}Fk1=⎣⎢⎢⎡10000100T0100T01⎦⎥⎥⎤, Fkcv=[Fk102]Fk_{cv}=\begin{bmatrix}Fk_1& \\& 0_2 \end{bmatrix}Fkcv=[Fk102]

2.2 CT模型： X=[x,y,x˙,y˙]T{X}=[x, y, \dot{x}, \dot{y}]^TX=[x,y,x˙,y˙]T

Xk+1=[1sin⁡(ωT)ω0−1−cos⁡(ωT)ω0cos⁡(ωT)0−sin⁡(ωT)01−cos⁡(ωT)ω1sin⁡(ωT)ω0sin⁡(ωT)0cos⁡(ωT)]Xk+WkX_{k+1}=\begin{bmatrix}1&\frac{\sin(\omega T)}{\omega}&0&-\frac{1-\cos(\omega T)}{\omega}\\0&\cos(\omega T)&0&-\sin(\omega T)\\0&\frac{1-\cos(\omega T)}{\omega}&1&\frac{\sin(\omega T)}{\omega}\\0&\sin(\omega T)&0&\cos(\omega T)\end{bmatrix}X_{k} + W_k Xk+1=⎣⎢⎢⎡1000ωsin(ωT)cos(ωT)ω1−cos(ωT)sin(ωT)0010−ω1−cos(ωT)−sin(ωT)ωsin(ωT)cos(ωT)⎦⎥⎥⎤Xk+Wk
其中WkW_kWk为零均值白噪声，其方差为：
Qk=qk2[T3/3T2/200T2/2T0000T3/3T2/200T2/2T]Q_k=q_k^2\begin{bmatrix}T^3/3&T^2/2&0&0 \\T^2/2&T&0&0 \\0&0&T^3/3&T^2/2 \\0&0& T^2/2&T\end{bmatrix}Qk=qk2⎣⎢⎢⎡T3/3T2/200T2/2T0000T3/3T2/200T2/2T⎦⎥⎥⎤
或者为(两种形式都可以用，下面一代码形式给出)

Qk= q2*[2*(w1*T-sin(w1*T))/w1^3     0        (1-cos(w1*T))/w1^2                 (w1*T-sin(w1*T))/w1^2     ;0        2*(w1*T-sin(w1*T))/w1^3         -(w1*T-sin(w1*T))/w1^2                 (1-cos(w1*T))/w1^2  ;(1-cos(w1*T))/w1^2              -(w1*T-sin(w1*T))/w1^2   T                   0        ;(w1*T-sin(w1*T))/w1^2           (1-cos(w1*T))/w1^2     0                T;];

定义矩阵

Fk2=[1sin⁡(ωT)ω0−1−cos⁡(ωT)ω0cos⁡(ωT)0−sin⁡(ωT)01−cos⁡(ωT)ω1sin⁡(ωT)ω0sin⁡(ωT)0cos⁡(ωT)]Fk_2=\begin{bmatrix}1&\frac{\sin(\omega T)}{\omega}&0&-\frac{1-\cos(\omega T)}{\omega}\\0&\cos(\omega T)&0&-\sin(\omega T)\\0&\frac{1-\cos(\omega T)}{\omega}&1&\frac{\sin(\omega T)}{\omega}\\0&\sin(\omega T)&0&\cos(\omega T)\end{bmatrix}Fk2=⎣⎢⎢⎡1000ωsin(ωT)cos(ωT)ω1−cos(ωT)sin(ωT)0010−ω1−cos(ωT)−sin(ωT)ωsin(ωT)cos(ωT)⎦⎥⎥⎤, Fkct=[Fk202]Fk_{ct}=\begin{bmatrix}Fk_2& \\& 0_2 \end{bmatrix}Fkct=[Fk202]

2.3 CA模型：X=[x,x,x˙,y˙,x¨,y¨]T{X}=[x, x, \dot{x},\dot{y},\ddot{x}, \ddot{y}]^TX=[x,x,x˙,y˙,x¨,y¨]T

Xk+1=[10T0T2/20010T0T2/20010T000010T000010000001]Xk+WkX_{k+1}=\begin{bmatrix}1&0&T&0&T^2/2&0\\0&1&0&T&0&T^2/2\\0&0&1&0&T&0 \\0&0&0&1&0&T \\0&0&0&0&1&0 \\0&0&0&0&0&1 \end{bmatrix}X_{k} + W_k Xk+1=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡100000010000T010000T0100T2/20T0100T2/20T01⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤Xk+Wk
其中WkW_kWk为零均值白噪声，其方差为：

Qk3=q3^2*[T^5/20   0      T^4/8  0       T^3/6   0;0       T^5/20  0      T^4/8   0       T^3/6;T^4/8   0       T^3/3  0       T^2/2   0;0       T^4/8   0      T^3/3   0       T^2/2;T^3/6   0       T^2/2  0       T       00       T^3/6   0      T^2/2   0       T];

定义矩阵
Fk3=[10T0T2/20010T0T2/20010T000010T000010000001]Fk_3=\begin{bmatrix}1&0&T&0&T^2/2&0\\0&1&0&T&0&T^2/2\\0&0&1&0&T&0 \\0&0&0&1&0&T \\0&0&0&0&1&0 \\0&0&0&0&0&1 \end{bmatrix}Fk3=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡100000010000T010000T0100T2/20T0100T2/20T01⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤, Fkca=Fk3Fk_{ca}=Fk_3Fkca=Fk3

2.4 IMM滤波器状态维数设计

滤波状态设计为：
X=[x,x,x˙,y˙,x¨,y¨]T{X}=[x, x, \dot{x},\dot{y},\ddot{x}, \ddot{y}]^TX=[x,x,x˙,y˙,x¨,y¨]T

目标真实航迹生成方程：
第一阶段：
Xk+1=FkcvXk+WkX_{k+1}=Fk_{cv}X_{k} + W_k Xk+1=FkcvXk+Wk
第二阶段：
Xk+1=FkctXk+WkX_{k+1}=Fk_{ct}X_{k} + W_k Xk+1=FkctXk+Wk
第三阶段：
Xk+1=FkcaXk+WkX_{k+1}=Fk_{ca}X_{k} + W_k Xk+1=FkcaXk+Wk
代码：

%% 产生真实轨迹for k=1:t1X=Fk_cv*X+Gk_cv*sqrtm(Qk1)*randn(4,1);     %产生真实轨迹X_true(:,k,index)=X;endfor k=t1+1:t2X=Fk_ct*X+Gk_ct*sqrtm(Qk2)*randn(4,1);X_true(:,k,index)=X;endfor  k=t2+1:stepsX=Fk3*X+Gk_ca*sqrtm(Qk3)*randn(6,1);X_true(:,k,index)=X;end

这样目标状态统一为X=[x,x,x˙,y˙,x¨,y¨]T{X}=[x, x, \dot{x},\dot{y},\ddot{x}, \ddot{y}]^TX=[x,x,x˙,y˙,x¨,y¨]T 6维，实际上在CV和CT运动模型中，FkctFk_{ct}Fkct和FkcvFk_{cv}Fkcv最后两行均为0，因此CVCT模型对加速并没有产生任何作用，加速度的引入只是为了满足状态维数。

同样，GkctGk_{ct}Gkct和GkcvGk_{cv}Gkcv最后两行均为0，为6x4的矩阵，为了让CVCT的4路噪声满足6维状态。

存在的问题：这样用0对齐维数，直接导致CV和CT的过程噪声方差奇异、进而导致滤波估计协方差奇异，使得矩阵分解失败、没办法产生采样点。（目标大多数非线性滤波器都是基于矩近似的采样滤波，e.g.,UKF,CKF,DDF,QKF…）

2.5 IMM各模型滤波器设计

思路：采用变维思想。针对不同模型的局部滤波器，只对该模型真实包含的状态进行滤波更新，其余状态保持不变。

CV模型局部滤波：x^k∣kcv=[x^k∣k(1),x^k∣k(2),x^k∣k(3),x^k∣k(4)]T\hat{x}_{k|k}^{cv}=[\hat{x}_{k|k}(1), \hat{x}_{k|k}(2), \hat{x}_{k|k}(3),\hat{x}_{k|k}(4)]^Tx^k∣kcv=[x^k∣k(1),x^k∣k(2),x^k∣k(3),x^k∣k(4)]T
x^k∣kcv=x^k∣k−1cv+Kz(zk−z^k∣k−1)Pk∣kcv=Pk∣k−1−KkSkKk′(5)\textcolor{#FF0000}{ \begin{aligned} \hat{x}_{k|k}^{cv}&=\hat{x}_{k|k-1}^{cv}+K_z\left(z_k-\hat{z}_{k|k-1}\right)\\ P_{k\mid k}^{cv}&=P_{k\mid k-1}-K_kS_kK_k' \end{aligned}} \tag{5}x^k∣kcvPk∣kcv=x^k∣k−1cv+Kz(zk−z^k∣k−1)=Pk∣k−1−KkSkKk′(5)
注意：滤波中采用的参数矩阵为Fk1∈R4Fk1\in\mathbb{R}^4Fk1∈R4，Qk1∈R4Qk1\in\mathbb{R}^4Qk1∈R4，上面右定义并给出。

CT模型局部滤波：x^k∣kct=[x^k∣k(1),x^k∣k(2),x^k∣k(3),x^k∣k(4)]T\hat{x}_{k|k}^{ct}=[\hat{x}_{k|k}(1), \hat{x}_{k|k}(2), \hat{x}_{k|k}(3),\hat{x}_{k|k}(4)]^Tx^k∣kct=[x^k∣k(1),x^k∣k(2),x^k∣k(3),x^k∣k(4)]T
x^k∣kct=x^k∣k−1ct+Kz(zk−z^k∣k−1)Pk∣kct=Pk∣k−1−KkSkKk′(5)\textcolor{#FF0000}{ \begin{aligned} \hat{x}_{k|k}^{ct}&=\hat{x}_{k|k-1}^{ct}+K_z\left(z_k-\hat{z}_{k|k-1}\right)\\ P_{k\mid k}^{ct}&=P_{k\mid k-1}-K_kS_kK_k' \end{aligned}} \tag{5}x^k∣kctPk∣kct=x^k∣k−1ct+Kz(zk−z^k∣k−1)=Pk∣k−1−KkSkKk′(5)
注意：滤波中采用的参数矩阵为Fk2∈R4Fk2\in\mathbb{R}^4Fk2∈R4，Qk2∈R4Qk2\in\mathbb{R}^4Qk2∈R4，上面右定义并给出。

CA模型局部滤波：x^k∣kca=x^k∣k\hat{x}_{k|k}^{ca}=\hat{x}_{k|k}x^k∣kca=x^k∣k
x^k∣kca=x^k∣k−1ca+Kz(zk−z^k∣k−1)Pk∣kca=Pk∣k−1−KkSkKk′(5)\textcolor{#FF0000}{ \begin{aligned} \hat{x}_{k|k}^{ca}&=\hat{x}_{k|k-1}^{ca}+K_z\left(z_k-\hat{z}_{k|k-1}\right)\\ P_{k\mid k}^{ca}&=P_{k\mid k-1}-K_kS_kK_k' \end{aligned}} \tag{5}x^k∣kcaPk∣kca=x^k∣k−1ca+Kz(zk−z^k∣k−1)=Pk∣k−1−KkSkKk′(5)
注意：滤波中采用的参数矩阵为Fk3∈R4Fk3\in\mathbb{R}^4Fk3∈R4，Qk3∈R4Qk3\in\mathbb{R}^4Qk3∈R4，上面右定义并给出。

代码实现：

%filer1
[xk_UKF1,Pk_UKF1,A_UKF1] = fun_2UKF_cvct(X_update_hat1,P_update_hat1,Fk1,Gk1,Z_true(:,k,index),Qk1,sigma_r,sigma_b,xp(:,1));%filer2
[xk_UKF2,Pk_UKF2,A_UKF2] = fun_2UKF_cvct(X_update_hat2,P_update_hat2,Fk2,Gk2,Z_true(:,k,index),Qk2,sigma_r,sigma_b,xp(:,1));%filer3
[xk_UKF3,Pk_UKF3,A_UKF3] = fun_2UKF(X_update_hat3,P_update_hat3,Fk3,Gk3,Z_true(:,k,index),Qk3,sigma_r,sigma_b,xp(:,1));

3. IMM-UKF仿真实现

3.1. 仿真参数

一、目标模型：CV CT CA
第一阶段：1:39s，匀速运动CV
第二阶段：40:91s，匀速圆周运动CT，角速度：5∗π/180;5*\pi/180;5∗π/180;
第三阶段：92:150s，匀加速运动CA

t1=39; t2=91; t3=steps;%% 产生真实轨迹for k=1:t1X=Fk_cv*X+Gk_cv*sqrtm(Qk1)*randn(4,1);     %产生真实轨迹X_true(:,k,index)=X;endfor k=t1+1:t2X=Fk_ct*X+Gk_ct*sqrtm(Qk2)*randn(4,1);X_true(:,k,index)=X;endfor  k=t2+1:stepsX=Fk3*X+Gk_ca*sqrtm(Qk3)*randn(6,1);X_true(:,k,index)=X;end

二、测量模型：2D主动雷达
在二维情况下，雷达量测为距离和角度
rkm=rk+r~kbkm=bk+b~k{r}_k^m=r_k+\tilde{r}_k\\ b^m_k=b_k+\tilde{b}_krkm=rk+r~kbkm=bk+b~k
其中
rk=(xk−x0)+(yk−y0)2)bk=tan⁡−1yk−y0xk−x0r_k=\sqrt{(x_k-x_0)^+(y_k-y_0)^2)}\\ b_k=\tan^{-1}{\frac{y_k-y_0}{x_k-x_0}}\\ rk=(xk−x0)+(yk−y0)2)bk=tan−1xk−x0yk−y0
[x0,y0][x_0,y_0][x0,y0]为雷达坐标，一般情况为0。雷达量测为zk=[rk,bk]′z_k=[r_k,b_k]'zk=[rk,bk]′。雷达量测方差为
Rk=cov(vk)=[σr200σb2]R_k=\text{cov}(v_k)=\begin{bmatrix}\sigma_r^2 & 0 \\0 & \sigma_b^2 \end{bmatrix}Rk=cov(vk)=[σr200σb2]且σr=70m\sigma_r=70mσr=70m， σb=0.3o\sigma_b=0.3^oσb=0.3o。

三、性能评估
RMSE(Root mean-squared error):蒙塔卡罗次数M=500M=500M=500，x^k∣ki\hat{x}_{k|k}^ix^k∣ki为第iii次仿真得到的估计。
RMSE(x^)=1M∑i=1M(xk−x^k∣ki)(xk−x^k∣ki)′\text{RMSE}(\hat{x})=\sqrt{\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}(\mathbf{x}_k-\hat{\mathbf{x}}_{k|k}^i)(\mathbf{x}_k-\hat{\mathbf{x}}_{k|k}^i)'}RMSE(x^)=M1i=1∑M(xk−x^k∣ki)(xk−x^k∣ki)′
Position RMSE(x^)=1M∑i=1M(xk−x^k∣ki)2+(yk−y^k∣ki)2\text{Position RMSE}(\hat{x})=\sqrt{\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}(x_k-\hat{x}_{k|k}^i)^2+(y_k-\hat{y}_{k|k}^i)^2}Position RMSE(x^)=M1i=1∑M(xk−x^k∣ki)2+(yk−y^k∣ki)2
Velocity RMSE(x^)=1M∑i=1M(x˙k−x˙^k∣ki)2+(y˙k−y˙^k∣ki)2\text{Velocity RMSE}(\hat{x})=\sqrt{\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}(\dot{x}_k-\hat{\dot{x}}_{k|k}^i)^2+(\dot{y}_k-\hat{\dot{y}}_{k|k}^i)^2}Velocity RMSE(x^)=M1i=1∑M(x˙k−x˙^k∣ki)2+(y˙k−y˙^k∣ki)2
ANEES（average normalized estimation error square）,nnn 为状态维数，Pk∣ki\mathbf{P}_{k|k}^iPk∣ki为第iii次仿真滤波器输出的估计协方差

3.2. 跟踪轨迹

3.3. 位置/速度RMSE

4.4. 模型概率

4.5. 部分代码

%模型概率初始化
m=[0.8;0.1;0.1];
%模型转移概率
Pa=[0.8 0.1 0.1;0.1 0.8 0.1;0.1 0.1 0.8;];
Pa=[0.9 0.05 0.05;0.05 0.9 0.05;0.05 0.05 0.9;];%误差存储
X_true=zeros(4,steps,runs);
Z_true=zeros(2,steps,runs);
X_err_IMM=zeros(4,steps,runs);
X_IMM=zeros(4,steps,runs);
PI=zeros(3,steps,runs);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%randn('state',sum(100*clock));  %每次给不同的状态重置随机数产生器（因为clock每次都不同）%%for index=1:runs %蒙特卡洛次数index         %显示运行次数%滤波初始化X=X_aver_zero+sqrtm(P_zero)*randn(4,1);%产生真实X0%三个滤波器的初始化   xk_UKF1=X_aver_zero;             %X(0|0)= X_aver_zeroPk_UKF1=P_zero;                  %P(0|0)= P_zeroxk_UKF2=X_aver_zero;Pk_UKF2=P_zero;xk_UKF3=X_aver_zero;Pk_UKF3=P_zero;t1=39; t2=91; t3=99;t4=131;t5=steps;%% 产生真实轨迹for k=1:t1X=Fk1*X+Gk*sqrtm(Qk1)*randn(4,1);     %产生真实轨迹X_true(:,k,index)=X;endfor k=t1+1:t2X=Fk2*X+Gk*sqrtm(Qk2)*randn(4,1);X_true(:,k,index)=X;endfor  k=t2+1:stepsX=Fk1*X+Gk*sqrtm(Qk1)*randn(4,1);X_true(:,k,index)=X;end
% %     for  k=t3+1:t4
% %         X=Fk3*X+Gk*sqrtm(Qk3)*randn(4,1);
% %         X_true(:,k,index)=X;
% %     end
% %     for  k=t4+1:t5
% %         X=Fk1*X+Gk*sqrtm(Qk1)*randn(4,1);
% %         X_true(:,k,index)=X;
% %     end%% 状态递归实现for k=1:stepsv=normrnd(v_mu,[sigma_r; sigma_b]);%雷达噪声% 雷达测量[r,b] = measurements2(X_true(:,k,index),xp(:,1)); %rm=距离，bm=角度 dm=多普勒速度rm=r+v(1);bm=b+v(2);Z_true(:,k,index)=[rm,bm]';

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