固定效应和随机效应模型

三种数据类型

横截面数据：特定的时间点对若干个体采集的样本所构成的数据集。
时间序列数据：同一个个体在不同时间点上所观测的数据构成的数据集。
面板数据：横截面数据与时间序列数据的结合，对横截面中的观测个体在时间上进行连续观测所得到的数据。

面板数据模型的基本形式：

yit=f(x1it,x2it,⋯,xkit)+uity_{it} = f(x_{1it},x_{2it},\cdots,x_{kit}) + u_{it}yit=f(x1it,x2it,⋯,xkit)+uit

i=1,2,⋯,ni=1,2,\cdots,ni=1,2,⋯,n表示个体数量，t=1,2,⋯,Tt=1,2,\cdots,Tt=1,2,⋯,T表示观测时间点，kkk表解释变量的个数。

模型误差拆解：

uit=αi+λt+ϵitu_{it}=\alpha_i+\lambda_t + \epsilon_{it}uit=αi+λt+ϵit

αi\alpha_iαi表示个性效应
λi\lambda_iλi表示时间效应
ϵit\epsilon_{it}ϵit表示随机误差

我们采用线性模型，并假设：

ϵit∼N(0,σϵ2)\epsilon_{it}\sim N(0,\sigma^2_{\epsilon})ϵit∼N(0,σϵ2)
不考虑时间效应

得到

yit=αi+β1x1it+β2x2it+⋯+βkxkxt+ϵity_{it}=\alpha_i + \beta_1x_{1it} + \beta_2x_{2it} +\cdots+ \beta_kx_{kxt}+\epsilon_{it}yit=αi+β1x1it+β2x2it+⋯+βkxkxt+ϵit

三种建模方式

混合回归模型：个体效应相同，αi=α,i=1,2,⋯,n\alpha_i = \alpha,i=1,2,\cdots,nαi=α,i=1,2,⋯,n
固定效应模型：个体效应不同，且αi,i=1,2,⋯,n\alpha_i,i=1,2,\cdots,nαi,i=1,2,⋯,n是常数
随机效应模型：αi\alpha_iαi是随机变量

随机效应模型具有两个随机误差项αi\alpha_iαi和ϵit\epsilon_{it}ϵit，我们假设满足E(αi)=α，αi=α+vi，viE(\alpha_i) = \alpha，\alpha_i=\alpha + v_i，v_iE(αi)=α，αi=α+vi，vi是随机变量，并对随机误差项的方差结构提出一些假设.

简单两层分层线性模型

Yij=β0j+β1jXij+rijY_{ij} = \beta_{0j}+\beta_{1j}X_{ij}+r_{ij}Yij=β0j+β1jXij+rij 层1模型

β0j=γ00+γ01Wj+μ0j\beta_{0j}=\gamma_{00}+\gamma_{01}W_j+\mu_{0j}β0j=γ00+γ01Wj+μ0j 层2模型

β1j=γ10+γ11Wj+μ1j\beta_{1j}=\gamma_{10}+\gamma_{11}W_j+\mu_{1j}β1j=γ10+γ11Wj+μ1j

Yij=γ00+γ10Xij+γ01Wj+γ11XijWj+μ0j+μ1jXij+rijY_{ij}=\gamma_{00}+\gamma_{10}X_{ij}+\gamma_{01}W_j+\gamma_{11}X_{ij}W_j+\mu_{0j}+\mu_{1j}X_{ij}+r_{ij}Yij=γ00+γ10Xij+γ01Wj+γ11XijWj+μ0j+μ1jXij+rij

直接对层2模型的参数进行估计不可行，因为结果β0j、β1j\beta_{0j}、\beta_{1j}β0j、β1j未能直接观察
组合形式不满足典型线性模型的假设

一般模型的简单子模型

单因素随机效应方差分析模型：Yij=γ00+μ0j+rijY_{ij}=\gamma_{00}+\mu_{0j}+r_{ij}Yij=γ00+μ0j+rij
随机截距模型
将平均数作为结果的回归模型
单因素随机效应协方差分析模型
随机系数回归模型