前言

双指数信号是在核信号处理领域很常见的一种型号，这是因为在单指数信号通过带电容电路后，都会变为双指数信号，例如很常见的C-R电路，和R-C电路，以及在其上发展出的各种有源电路，下面分析双指数信号的各种形状以及产生。

信号分析

表达式分析

双指数信号的基本表达式为y(t)=A1ek1x+A2ek2xy(t)=A_1e^{k1x}+A_2e^{k2x}y(t)=A1ek1x+A2ek2x
而在核信号中，最常见的双指数信号都是由负指数信号组成，并且都为两负指数信号之差的形式，所以，在这里讨论的双指数都为以下形式：
y(t)=A1e−k1x−A2e−k2xy(t)=A_1e^{-k_1x}-A_2e^{-k_2x}y(t)=A1e−k1x−A2e−k2x
其中A1,k1,A2,k2A_1,k_1,A_2,k_2A1,k1,A2,k2皆为正值

信号形状与产生原因分析

以下给出产生信号matlab代码：

x=1:2000;
y=zeros(size(x,2),1);
for i=1:1000y(i)=A1*exp(-k1*i)-A2*exp(-k2*i);
end
plot(x,y)

1.当A1<A2A_1<A_2A1<A2且k1<k2k_1<k_2k1<k2时，信号形状如下(A1=200,A2=500,k1=0.02,k2=0.05)(A_1=200,A_2=500,k_1=0.02,k_2=0.05)(A1=200,A2=500,k1=0.02,k2=0.05)：
以上情况信号出现的原因为以下几个方面：

首先是yyy值从-300到接近50的部分，存在一个较大的上冲，这是由于后面的负指数信号的A2A_2A2较大，并且衰减时间常数较小(k2较大)(k_2较大)(k2较大)，导致其在这一段的变化主要由后一个负指数信号引起，而在这时，由于前一个负指数信号变化较小，则可视为常数，这一阶段的变化情况类似于这一表达式：y(t)=A1−A2e−k2xy(t)=A_1-A_2e^{-k2x}y(t)=A1−A2e−k2x

而后面的负指数信号由于税案件时间常数较小，很快衰减到0，所以从yyy值到达顶峰后便按照第一个负指数型号的慢衰减规律进行衰减，这一衰减过程可用以下表达式来近似表达：y(t)=A1e−k1xy(t)=A_1e^{-k_1x}y(t)=A1e−k1x。

2.当A1>A2A_1>A_2A1>A2且k1<k2k_1<k_2k1<k2,信号形状如下(A1=500,A2=200,k1=0.02,k2=0.05)(A_1=500,A_2=200,k_1=0.02,k_2=0.05)(A1=500,A2=200,k1=0.02,k2=0.05)：

以上图片的特征是没有反冲，但是下降速度相比于传统的负指数信号的下降速度存在差异，以上情况出现的原因为：

首先，幅度值从300开始，之后由于k1<k2k_1<k_2k1<k2，所以前面的指数信号的变化速度要慢于后面的指数信号，但是由于两者相差并非很大，当后面的负指数型号衰减完成后，前面的负指数信号也基本衰减到300左右，所以出现前面衰减速度比单一负指数信号快而后面衰减速度和负指数信号相差无几的情况，而若是出现k1<<k2k_1<<k_2k1<<k2的情况，则会出现以下情况：

可以看到，由于k1k_1k1过小，导致后面负指数信号衰减基本完成时，前面的负指数信号还没有衰减到A1−A2A_1-A_2A1−A2的值左右，这就导致信号出现了上冲。

3.当A1<A2A_1<A_2A1<A2且k1>k2k_1>k_2k1>k2时，信号形状如下(A1=200,A2=500,k1=0.05,k2=0.02)(A_1=200,A_2=500,k_1=0.05,k_2=0.02)(A1=200,A2=500,k1=0.05,k2=0.02)

以上情况便相当于第二种情况关于x轴对称，现象的成因也基本相似，在这里不再多做解释，同样也可以存在k1>>k2k_1>>k_2k1>>k2的情况，信号将会转变成以下情况：

4.当A1>A2A_1>A_2A1>A2且k1>k2k_1>k_2k1>k2时,也可以看做是第一种情况关于x轴对称的情况，图像如下(A1=500,A2=200,k1=0.05,k2=0.02)(A_1=500,A_2=200,k_1=0.05,k_2=0.02)(A1=500,A2=200,k1=0.05,k2=0.02)：

5.除以上四种情况外，还有A1=A2A_1=A_2A1=A2或k1=k2k_1=k_2k1=k2的情况，当k1=k2k_1=k_2k1=k2时，便是按照单一负指数信号进行衰减，这种情况较为简单，这里不做深入分析，当A1=A2A_1=A_2A1=A2时，则会出现两种情况k1>k2k_1>k_2k1>k2和k1<k2k_1<k_2k1<k2，而这两种情况仅仅是关于x轴对称，所以只讨论k1<k2k_1<k_2k1<k2的情况。
在A1=A2A_1=A_2A1=A2且k1<k2k_1<k_2k1<k2的情况下，图像如下图(A1=500,A2=500,k1=0.02,k2=0.05)(A_1=500,A_2=500,k_1=0.02,k_2=0.05)(A1=500,A2=500,k1=0.02,k2=0.05)

以上情况便是A1<A2A_1<A_2A1<A2且k1<k2k_1<k_2k1<k2和A1>A2A_1>A_2A1>A2且k1<k2k_1<k_2k1<k2两种情况的特殊情况，既含有第一种情况中的先按照第二个指数信号衰减(衰减时间常数大的信号)，再按照第一个指数信号进行衰减(衰减时间常数小的信号)，也包含了第二种情况中的第二个指数信号衰减完情况下的第一个指数信号还没衰减到指定值情况下的衰减。

小结

以上给出了四种在核信号处理中常见的双指数信号的形状以及产生原因，其主要也就包含三种情况，分别为第一种情况，第二种情况和第五种情况，其与基本上都为其关于x轴变换所得到结果，由于负指数信号经过C-R，R-C，SK等电路的滤波后信号形状基本和上面的五种情况相同，故此记录。

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